Équation tangentielle de la courbe y = e
9. Il est en général difficile de construire une courbe représentée par son équation tangentielle.
Dans le cas particulier où l'on peut résoudre Téquation par rapport à Tune des variables m, v, to, les coordonnées du point de contact d'une tangente
Iw fw
peuvent s'exprimer alors en fonction de deux variables seulement ou mieux du quotient de ces deux variables ; on peut alors aisément construire la courbe. En voici un exemple simple :
On trouve que Tenveloppe d'une droite qui coupe un folium de Descartes (x^ -hy^ — ^axy = 0) et Tune des tangentes au point double (l'axe Ox) en quatre points conjugués harmoniques est f{Uy 1?, v>) = Zà^uvw — 2a^u^ — - lo^ = ;
on en tire
da^uw et par suite
fi to(M?8 — 4a3ti3) __ fi __ :ia^w^u
^ " fto "" 2u{a^u^ — w'^}' ^ ^ fw'" 2[a^u^ — w^} '
Posons — = < ; il vient u
f(<3 — 4a3) 2aH^
^ — 2(a3 — ta) '
Il suffît alors de faire varier t de
dx __ —{t^-h2a^)^ dt "" 2(a3 — ^3)2 '
On a trois points de rebroussement, correspondant aux racines de l'équation
If — ■
à H-oo;
dy ^
ZaH(t^-^2a^)
dt -
«3 + 2a3 = ; un seul de ces points est réel.
On pouvait d'ailleurs trouver ces points de rebroussement en résolvant les équations
fuw
fl'
fvw
fwu
fwv
= 54a*(î^3 4 2a3w3 -h a^wt?!/?) = 0.
10. Étant donnée une série de courbes variables dont Téquation tangentielle renferme un paramètre X, /"(m, r, to, X) = 0, on obtient l'équation tangentielle de Tenveloppe de ces courbes en élirai- •nant X entre les équations
11. On donne un triangle ABC, on joint le sommet A à un point N pris sur le côté opposé. Soit M le milieu de AN, on mène les droites BM et CM qui rencontrent respectivement AG et AB en P ^t Q. Enveloppe de la droite PQ quand N décrit la droite BC.
12. La condition nécessaire et suffisante pour que la droite de rinfini soit tangente multiple d'ordre p d'une courbe algébrique est qu'en ordonnant l'équation tangentielle par rapport aux puissances de to, le plus haut exposant de cette variable soit égal à m — p, m désignant la classe de la courbe.
Par exemple, si la droite de rinfini est tangente multiple d'ordre m — 1, Téquation s'écrit
Om{Uj V) -h W^m-i{Uj v) = 0,
les fonctions o étant homogènes et de degré indiqué par Tindice.
13. Étant donnée une courbe du quatrième degré ayant trois points doubles à tangentes inflexionnelles, par un point de cette courbe on peut lui mener quatre tangentes autres que celle dont le point de contact coïncide avec le point considéré. Démontrer que les quatre points de contact sont en ligne droite,
La courbe donnée a pour équation tangentielle
Auâ-h Bt?»-|-Cto3 = et pour équation ponctuelle (41)
Soit (a, p, y) ^^ point de cette courbe ; on aura
et les tangentes issues de ce point vérifient les équations a s 2
AM8-hBo3-+-Cw?3 = 0, (2)
Ma 4- cp 4- lOY = 0. (3)
Le point de contact d*une de ces tangentes a pour coordonnées
-j » —, ~ » '^ s'agit donc de démontrer qu'il existe des nombres
HZ ^3 1^3
fixes m, n, p tels que les solutions des équations (2) et (3) vérifient la relation
Posons
Aaâ = a, Bv^ = b, Cm?» = c,
uat, = a\ rp = b', w^ = c'.
^Les équations (2), (3) et (l) peuvent s'écrire a -f- & + c = 0, a'-hb'-hc' = 0, az 53 c3
OU
a'-hb'-hc' = 0,
en éliminant o', &', c' entre ces équations, on a
abc a' b' c' =0
fâ" (I)" 0)" (f-I)(î-î)(5-^)(5+M)=»-
On ne peut avoir t? = -77' car on aurait aussi a b c
le point de contact de la tangente coïnciderait avec le point a, p, y.
On aura donc
OU
ou
ce qui montre que les points de contact sont sur la droite
14, Une tangente à la développée d'une ellipse rencontre la courbe en quatre points autres que le point de contact. Démontrer que les tangentes en ces quatre points sont concourantes.
Ce théorème se déduit du précédent en permutant les variables a?, 2/, z et te, r, 10, puisque Téquation ponctuelle de la développée d'une ellipse est de la forme
Les deux théorèmes sont corrélatifs.
15. Par un point P, situé sur la circonférence inscrite à une
hypocycloïde à quatre rebroussements, menons quatre tangentes PA, PB, PC, PD à cette courbe.
1° La partie de Vune des tangentes, PD par exemple^ comprise entre les tangentes à Vhypocycloïde en ses points de rebroussement est divisée en P en deux parties égales,
2° Les autres tangentes PA, PB, PC rencontrent le cercle en trois points A, B, C qui sont les sommets d'un triangle équilatéral.
3° Si le cercle rencontre la tangente en Vun des points de rebroussement en E, et la parallèle à cette tangente menée par P en F, Varc EF est triple de Vun des arcs EA, EB, EC.
On peut envisager l'hypocycloïde à quatre rebroussements comme l'enveloppe d'une droite de longueur constante dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires..
L'équation tangentielle de cette courbe est
io2(w2 + u2) __ a'^u^v^ =-0, et le cercle inscrit a pour équation
16, Rayon de courbure. — Proposons-nous de déterminer le rayon de courbure en un point d une courbe définie par son équation tangentielle.
Nous supposerons lo = i, et Téquation de la courbe définira i« et t? comme fonctions d'un m.ême paramètre.
Considérons une tangente,
uœ -\- vy -\- i •=. Ç) ) '
le point de contact satisfait à l'équation
xdu H- ydv = ; on en déduit
— dv du
udv — vdu udv — vdu
d'où
(udv — vdu)'^ ^ \udv — vduY
v{dudH — dvd^u) , — uidud^v — dvdhi) dx = \ J--J— > dy = <"
On en déduit
(dudH — dvdhi) ^/û^-hv'^
^ -^ [udv — vduy
D'autre part l'angle de contingence e, c'est-à-dire l'angle de dçux tangentes infiniment voisines,
t(x -4- vy H- i zn: 0, [u-{'du)x->r[v + dv)y -+- î rz 0,
est déterminé par la relation
udv — vdu
"" w* -f- r^ en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur ; par suite le rayon de courbure est
__ ^ {dud^v — dvd^u){u^-h' v^ ^ e "" {udv — vduy
17, En écrivant l'équation d'une droite sous la forme X cos a 4- y sin a — p = 0, on peut prendre pour coordonnées tangentielles polaires de la droite les quantités a et p.
L'équation tangentielle d'une courbe sera de la forme
Pour obtenir les coordonnées du point de contact d'une tangente, on résout les deux équations
07 cos a H- y sin a — jj = 0, — 07 sin a H- y cos a — p' = 0, cette dernière étant obtenue en diiférentiant la première par rapport à a, et p' désignant la dérivée de p.
On en tire ^ ^ ^f
X =1 p cos a — p' sin a, p- i' - - ^^
y = p s\n oL-^p' cos a, '* ' yr d'où
— =—{p -j^p") sin a,
^ = (pH-/)cosa, et par suite, en faisant la somme des carrés,
s désignant l'arc et p le rayon de courbure.
L'équation du point peut s'écrire
jî = A cos a + B sin a ; celle du cercle,
p = A cos a 4- B sin a + G ;
d'une conique en général,
p = A cos a H- B sin a di v^C cos'' a -h 2D sin a cos a -|- E sin^ a .
Les épicycloïdes ont une équation tangentielle de forme très simple .
On sait qu*une épicycloïde est la courbe engendrée par un point de la circonférence d'un cercle mobile roulant sur un cercle fixe.
Considérons un cercle de rayon r roulant sur une circonférence axe de rayon R. Soit A la position initiale de Tun des points de la
circonférence mobile ; lorsque cette circonférence sera venue, dans son mouvement, toucher la circonférence fixe en A', le point A sera venu en M^ de telle sorte que les deux arcs A A' et A'M soient égaux.
Désignons par ? Tangle AOA' ; Tangle A'C'M est alors égal à
ç- , et les coordonnées du point M
sont
(R H- r) cos çp — r cos (?-+- — )»
y = (R -h r) sin ç — r sin On en déduit
g=(R + r)[-8in? + 8in(? + 52j],
| = (R+.)[cos<p-co8(? + 52)], d'où Ton tire
de telle sorte que Téqualion de la tangente peut s'écrire
X sin (<p + 55) - Y cos (cp+l^) -(R4-2r) sin |2 = o.
On voit aisément qu'elle passe par le point K, résultat bien connu.
Posons ^ "^ 2r "^ "^ "^ T '
l'équation devient
Xcosa + Ysina-(R-h2r)sin^-5 ^a-|-|.). (I)
11 en résulte que l'équation tangentielle polaire de l'épicycloïde
€St
p=(R + 2r)sin^^{a + |)- Si le cercle mobile est tangent intérieurement au cercle fixe, le
lieu du point M est une hypocycloïde dont Téquation tangentielle se déduit de la précédente en changeant r en — r, ce qui donne
p = (R-o.)sin^^(a + |).
Ces équations sont de la forme
p = A sin [a%-\- &), et on voit aisément que quels que soient A, a, ô, cette équation représente une hypocycloïde si a > 1 , une épicycloïde si a < 4 ; seulement, si h est quelconque, Taxe des x ne passe pas par un point de rebroussement de la courbe.
On aurait pu obtenir plus rapidement l'équation tangentielle (1) en abaissant OH perpendiculaire sur la tangente KM, et en calculant cette longueur en fonction de l'angle HOa?.
On a
OH = OK sin OKH,
p = (R + 2r) sin 5^,
et l'on voit aisément que
18. Chercher les équations tangentielles polaires de la cardioïde^ des hypocycloides à trois et quatre rebrous s ements et de la cycloïde.
