CHAPITRE m POSITION D'UNE COURBE PAR RAPPORT A SES TANGENTES

59. Pour étudier la position d'une courbe par rapport à Tune de ses tangentes, on peut transporter l'origine des coordonnées en un point de cette droite, ce qui revient à supposer que cette tangente passe par l'origine.

Soit

Téquation de la courbe supposée de classe m, les fonctions o étant homogènes et de degré indiqué par Tindice.

Les coordonnées des tangentes menées par Torigine vérifient les équations

La fonction q>,„(w, v) est décomposable en un produit de m facteurs linéaires de la forme au -t- py, et à tout facteur de ce genre correspond une tangente à la courbe passant par l'origine ; les paramètres directeurs de cette tangente sont a et p, et ses coordonnées sont — p, a, 0.

On peut reconnaître très aisément l'ordre de multiplicité de cette tangente.

On a en effet

fw = ?m-l(w, u)-f-2«t"fm-2(w, u) H

Pour que la tangente soit simple, il faut que fi, f'r, fi, ne soient pas nulles en même temps pour les coordonnées de cette tangente. Comme w est nul, il suffit de considérer les premiers termes ^^[u, v), cp4(M, r), <pm-i(w, v) des trois dérivées.

Si le facteur wa-f-up est facteur simple de cp^(w, v), les deux dérivées «p^ et ^In ne sont pas nulles en même temps, la

tangente est simple.

Si le facteur ux-\-v^ est facteur multiple de «p^, la tangente ne sera simple que si «?m-i(w, v) n'est pas divisible par ce facteur.

L'équation du point de contact sera

U(p„',(w, v) -+- V9,;»(w, v) -+- ^^m-i{u, v) = 0, où Ton remplace u par — p et v par a.

60. Supposons d'abord que le point de contact soit à distance finie, c'est-à-dire que le coefficient de W soit diff'érent de zéro. On pourra alors transporter l'origine en ce point (formule [5] du numéro 34) ; nous pouvons supposer que ce calcul a été préalablement fait ; alors, parmi les tangentes issues de l'origine à la courbe, il y en a au moins deux qui sont confondues avec la tangente considérée; par conséquent «p,„(w, v) doit admettre au moins deux fois le facteur wa-f-up ^^\

Nous allons étudier la position d'une tangente infiniment voisine de la droite D, et pour cela il sera commode de ne conserver que deux coordonnées.

Supposons que la droite D ne soit pas confondue avec Oy,

. c'est-à-dire « yj^ 0. On pourra supposer que v conserve une

valeur constante, nous poserons v = — 1, de telle sorte que

u désignera le coefficient angulaire et w l'ordonnée à l'origine.

B Posons — = Wi

et cp..(w, — l) = 4.,.(w).

(1) On peut remarquer aussi que dans Téquation du point de contact les coefficients de U et de V doivent être nuls.

POSITION d'une courbe 63

L'équation peut alors s'écrire

et, d'après Thypothèse qui précède, ^J^) est divisible par (u — w,)*, ce qui donne

Quand tv est infiniment petit, l'équation est vérifiée par deux valeurs infiniment petites de u — Wj; on a aisément leurs parties principales en appliquant la méthode de Puiseux :

On ne peut donner à w que des valeurs du signe de

Si on suppose — r-^- > 0, nous donnerons à w des

valeurs négatives et on aura pour u — u^ des valeurs positives et négatives, ce qui revient à dire que les tangentes voisines auront des ordonnées à Torigine négatives et leurs coefficients angulaires, Tun supérieur, l'autre inférieur à Ui.