ÉquaiioQ du Point. Théorème. — Toute équation homogène
et du premier degré par rapport à m, î;, îv représente un point.
Soit l'équation
au-hàv-i- cw = 0. (2)
On voit immédiatement que toutes les droites dont les coordonnées satisfont à cette équation passent par le point qui a pour coordonnées homogènes a, ^, c.
L'équation (2) sera dite Véqualion tangentielle du point.
Il est à peine utile de faire observer que, réciproquement, tout point peut être représenté par une équation du premier degré ; autrement dit, en écrivant qu'une droite passe par un point, on a une relation du premier degré entre les coefficients de la droite.
On peut donc dire que Véqnation tangentielle d'un point est la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'une droite pour que cette droite passe par le points
de même que L'équation ponctuelle d'une droite est la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la droite.
Exemples. -— L'origine des coordonnées a pour équation
un point sur Taxe des ar, ayant pour abscisse a, sera représenté par l'équation
ua -+- IV = 0.
6. Le point représenté par Téquation (2) n'est à distance finie que si le coefficient de w^ c, est différent de zéro ; les coordonnées absolues de ce point sont - et -•
ce
Si c = 0, on voit que toutes les droites dont les coordonnées satisfont à l'équation (2) sont parallèles à la droite qui joint l'origine au point de coordonnées a et 6 ; on peut donc dire que toutes ces droites passent par le point à l'infini dont les coordonnées homogènes sont a, ô, 0.
Ainsi, ti = est l'équation du point à l'infini dans la direction de Oo?; v := est celle du point à l'infini dans la direction de Oy.
7. Exercice. — Trouver les équations des points à Vin fini dans les directions perpendiculaires aux axes de coordonnées, ces axes faisant V angle 0.
L'équation de la perpendiculaire à Ox menée par le point
étant
so -\- y cos 6 = 0,
on voit que les paramètres directeurs (^) de cette direction sont cos et — 1 ; par conséquent en exprimant qu'une droite passe par le point à l'infini de coordonnées homogènes cos 6, —1,0, on aura
M cos 6 — V = 0.
On trouve de même que Téqualion du point à l'infini sur la perpendiculaire à Oy est
u — 1? cos 8 = 0.
8. Reconnaître si une droite variable passe par un point fixe. — Dans un grand nombre de cas on peut simplement résoudre la question en se donnant les coordonnées 'de la droite m, v, m;, puis écrivant les conditions auxquelles est assujettie cette droite. On arrive alors à une relation entre u, V, IV et certaines quantités constantes, et il suffit de constater que la relation obtenue est du premier degré en w, r, w.
Voici une application très simple de cette méthode à un problème bien connu.
9. Exercice. — Les trois sommets d'un triangle décrivent trois droites concourantes et deux côtés passent par deux points fixes, 2>é?montrer que le troisième côté passe par un point fixe en ligne droite avec les deux premiers .
Prenons pour axes deux des droites données ; soit y = m^ l'équation de la troisième et {x\ y'), (a;", y") les coordonnées des points fixes P et Q.
Désignons par
t<a? -f- t?y -h M> = l'équation de la droite AB ; les droites AC et BG ont respectivement pour équations
(i) On appelle paramètres directeurs d'une direction les coordonnées d'un point quelconque situé sur la parallèle à cette direction menée par Forigine.
Ainsi les paramètres directeurs de la droite ux-h vy -h ic = sont, à un facteur constant près, v et — u.
vif ■
nx -\-vy
ux -f- Vl/ -f- 10
ucd' -\- vy" -f- 10
Je forme Téquation de la droite joignant l'origine au point de rencontre de ces deux droites, ce qui donne
^ [ux' H- vy' + lo) = -7 [ux" -t- vy" 4- w?) , y X
et j*écris que cette droite a pour coefficient angulaire m. On a ainsi
mx"{ux' + vy' -h lo) — y'iux" -\- vy" -{- w) = .
Cette relation étant du premier degré en m, r, ic, exprime que la droite passe par un point fixe. On voit de plus que ce point est situé sur la droite PQ, car les coordonnées de cette droite annulent ux' -hvy' -hio et ux" 4- vy" + ic ; elles vérifient donc Téquation qui précède.
