Équatioa du point d^inlersection de deux droites
Soient Ai(wi, Uj, Wi) et A2(i/2, uo, iCi) les deux droites données ; d'après la définition de Téquation du point, il nous faut trouver la condition pour qu'une droite quelconque (w, v, iv) passe par le point de rencontre de A, et A,. On sait que cette condition peut s'écrire
c'est réquation cherchée.
En la développant, on obtient
u {viiV2 — îViVi) H- v{u\Ui — yiW2) •
et nous voyons que les coordonnées homogènes du point de rencontre des deux droites sont ViW.2 — WiV^^ iL\U2^uiio^, W1U2 — v^Ui. Ce point est à l'infini si U1V2 — «1^2 = 0;. on retrouve ainsi la condition de parallélisme de deux droites.
11. De l'équation (3) on peut déduire comme il suit les coordonnées d'une droite quelconque passant par l'intersection de Al et de A2. Le déterminant étant nul, il existe entre les élé-
• iv{u^V2 — riWî) = 0,
LE POINT ET LA DROITE i
ments des colonnes une même relation linéaire et homogène,
soit
ku H- Bmi -h Cm2 = 0,
At?-1-Bi?i-+-Cu2 = 0,
Am; H- BM7i H- Cw2 = 0.
Le coefOcient A n'est pas nul, car s'il était nul, Wj, »i, Wi seraient proportionnels à Uj, t?2, ^'2, et les deux droites A, et A2 coïncideraient.
Nous pouvons donc résoudre les relations précédentes par rapport à w, r, n\ et Ton a
Il ^ Xtl, -h |lMî,
w = hvi H- [iWi.
En faisant varier X et [x de toutes les façons possibles, on obtient les coordonnées de toutes les droites passant par Tintersection des deux droites données.
Ce résultat est d'ailleurs une conséquence immédiate d'une propriété établie en géométrie analytique. On sait que l'équation générale des droites passant par Tintersection des deux droites qui ont pour équations
Pi r= UiX -\- Viy H- Wi = 0,
Pj = UiX -f- Viy -h Wî = est
XPi-hfiPj^O,
et, d'après la définition, les coordonnées de la droite représentée par cette équation sont Xtii -h i^wj, Xr, -t- |jtt?,, Xwi -h hlus.
12. Exercice. — Etant donné un système de valeurs de X et de fx, reconnaître si la droite correspondante qui a pour coordonnées Xwi -+- fxi/2, Xoi -f- 1X172, Xtt'i 4- HL«^'2 €st située dans f angle aigu ou dans l'angle obtus des deux droites Ai et Aj.
Soit A un point quelconque du plan ; par ce point je mène une perpendiculaire à la droite A, ; cette perpendiculaire rencontre Al au point Bi et A^ au point B2. Il est clair que si les
deux points Bi et Bj sont de part et d'autre du point A, ce point est dans Tangle aigu des deux droites ai et Aj-, si, au contraire, les deux points Bi et Ba sont d'un même coté du point A, ce point est dans Tangle obtus formé par Ai et as- Nous nous appuierons sur cette propriété pour résoudre la question.
Soient a?', y' les coordonnées du point A ; Téquation de la perpendiculaire menée par ce point à la droite Aj est, 6 désignant Tangle des axes,
Ui — Vi cos Q ~~ «1 — îij cos ô '
et les coordonnées d'un point quelconque de cette perpendiculaire ont pour expression
X = x' -h p(m, — Vi cos 6), y = 2/'-t-p(i?i — wi cos 6),
p étant proportionnel au segment qui a pour origine le point A et pour extrémité le point {x, y).
On aura les valeurs de p, Pi et pj, relatives aux points Bi et Bj, en écrivant que les expressions (4) de a? et de y satisfont aux équations des droites A, et Aj. On trouve ainsi
w? -h Vï — ^UiVi cos 6
UiUi -f- t;iV2 — {uiVi -f- Wst?i) cos ô
L'expression Wi^ -+- Vi* — 2miUi cos 6 étant toujours positive, le produit pip2 aura le signe de
E={uix'-hViy'-hWi)(ViX'-hViy'-^Wi)[uiU2-hViV2—{UiVi-hU2Vi) cos 6].
Si cette expression est positive, pi et pa sont de même signe, les deux points Bi et B2 sont d'un même côté du point A, ce point est donc dans l'angle obtus des droites Ai et As. Si, au contraire, l'expression E est négative, le point A est dans l'angle aigu.
Supposons maintenant que le point A soit situé sur la
droite A qui passe par rinlerseclion de ai et de Aa et qui a pour coordonnées Xwi -f- jjlwj, ÀUj 4- jjluj, Xwt -t- [lw2 ; on aura
d'où Ton tire
ce qui montre que le produit
a le signe de — Xfx. Alors l'expression E aura le signe de
— X|Jl[MiWj -+- Wi^s — (U1V2 -h t/jVi) cos 6j,
et la réponse à la question proposée est la suivante :
Si X|ji[wiW2 -I- V1V2 — (i/i»2 H- W2V1) cos 6] > 0, la droite A traverse Tangle aigu des deux droites Aj, Aî ;
Si X|ji[MiW2-hWirî — {W1W2 -4- W2«?i) cos 6] < 0, la droite A traverse l'angle obtus.
Nous remarquerons que dans tout ce qui précède nous avons supposé
U1U2 •+- ViV2 — {UiVi H- UiVi) cos 6 :;zf: 0,
ce qui revient à supposer que les deux droites ne sont pas perpendiculaires.
L'a droite A ne change pas quand X et |ji varient de telle
manière que le rapport - reste le même. La position de la
droite ne dépend donc que de la valeur de ce rapport. Les
considérations qui précèdent prouvent que si le rapport -
varie en conservant un signe constant la droite A se déplace dans le même angle, et si ce rapport change de signe la droite A passe dans l'autre angle.
13. Nous obtenons ainsi une interprétation géométrique du signe du rapport - ; on peut également chercher une interprétation de la valeur absolue de ce rapport.
Nous allons démontrer que la valeur absolue de ce rapport est proportionnelle au rapport des sinus des angles que fait la droite A avec les droites A^ et Ai.
Soit S le point de rencontre de Ai et A2 ; d'un point A (x', y') pris sur A abaissons les perpendiculaires APi et AP2 sur Al et A2.
On a
d'où
Or
AP, = SA sin ASA, , AP2 = SA sin ASA2 ,
APi sin ASA,
APi =
