RÉDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
Le module de la substitution est alors sin p sin a
sin 6' sin
sin 6 sin 6
sin (6 — p) sin (6 — a)
sin^' sin* e '
sin 6 sin ft
Cela posé, remplaçons dans le premier membre de Téquation de la conique f[u, v, iv)^ w, u, w par les valeurs cidessus ; /"(m, u, w) devient une nouvelle forme quadratique
^(u^ v', w') = aiu!^^a\v'^-^oy^+^b,v'w' -\-W,io'u' -^W.u'v' .
Si Aj désigne son discriminant, on sait que A, = hl'A, ou en remplaçant fx par sa valeur,
Aj A
sm*
On voit ainsi que l'expression
sin* 8
sin*0
est un invariant tel
que nous Tavons défini.
Démontrons maintenant que les racines de Téquation en S sont des invariants.
En tenant compte des formules de transformation, on a
f[u, V, w) = ^(w', w', w'\ u* + V» — 2mu cos 6 = u'* + v'^ — itu'v' cos 6'. Donc, on a, quel que soit S, /•(w, tJ, w) — S(m« -r u^ — 2mu cos 6) = /*i(u', v', w')
— S{u'^ 4- v'^ - 2w't?' cos 6'),
ce qui revient à dire que le second membre se déduit du premier par la transformation indiquée plus haut.
Si Ton désigne par F(S) et Fi{S) les discriminants des formes quadratiques qui figurent dans les deux membres, on aura, quel que soit S,
F,(S) = fx*F(S).
Or F(S) et Fi(S) sont les premiers membres des équations
en s relatives aux deux équations
il en résulte que les équations en S ont mômes racines. L'identité précédente peut d'ailleurs s'écrire
A, — (Al -4- Ai — 2BÎ cos G')S -^ «iS» sin^ 6'
sin*
qL" v--^
1%. j^Èj
rue
On
en déduit
Al
sin* 6'
sin* 6 '
Al 4- A
2BÎ cos e'
