SB

cos

sin^

sin* 6

sin» 6'

sin* 6

On voit ainsi

que

les fonctions

2B'' cos

sin* e sin* G sin^ 6

sont des invariants.

Nous démontrerons plus loin qu'il n'en existe pas d'autres, c'est-à-dire que tout invariant est une fonction de ces trois quantités .

142. On peut déduire très simplement de ces considérations l'équation tangentielle réduite d'une conique.

Premier cas. a"^{),

La conique est une ellipse ou une hyperbole.

L'équation de la conique rapportée à ses axes aura (123)

la forme

a,u'^-^aW^-^a\w'^=^{),

l'angle 6' des nouveaux axes de coordonnées étant -•

RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 155

En appliquant les formules (5), on a

(fi)

sin* 6 '

sin*

cos

~ sin» 6 •

déduit de là

Oi + ai /i

ni —

— 2B' sin» 6

cosO

* ' a" sin* e On voit ainsi que «i et a\ sont racines de l'équation a'S» sin» 6 - (A -h A' — 28" cos e)S 4- A = 0, c'est-à-dire de l'équation en S, et que

sin» 9 L'équation réduite sera donc

* sin» 8

143, Nous pouvons maintenant établir que tout invariant

est une fonction des trois invariants trouvés plus haut, à

savoir,

A a-hA' — 2B'cosO a'

sin* ô sin* 6 sin» ^

En eflet, s'il existait un quatrième invariant H, on aurait

la relation

Hi désignant cet invariant formé avec les coefficients de la forme réduite.

En éliminant ai, a\, aj entre les équations (6) et (7), on aurait une relation entre les coefficients a, a', a", b, b\ b'\ ce

qui est manifestement impossible, puique ces coefficients peuvent être choisis arbitrairement.

Il faut donc que la relation (7) soit conséquence des relations (6), c'est-à-dire que H soit fonction des trois premiers invariants.

144. On peut môme par ce procédé trouver l'équation de la conique rapportée à deux diamètres conjugués faisant l'angle 6'.

Cette équation a toujours la forme simple

et l'on a

Uittial

sm* 0' sm*

al{ai 4- fli) __ A + A^ — 2B"cose sin* 6' "" sin* ô

sin^ 0' sin» 6 On en déduit

ai -H ai A -h A' — 28" cos '

sin» 6' a' sin» 6

aia'i __ ^ sin^e' ""a^sin^e*

L'équation sera donc

,^ a"sin«e' ,, ^

sm^ 6 (Ti et (Ts étant les racines de l'équation

aV sin^ ^ — [k-hA' — SB* cos e)(i sin^ 0' -+ a sin^ ^' = 0. On pourrait déduire de là les théorèmes d'Apollonius.