Deuxième cas. a
La conique est une parabole.
On peut avoir a priori la forme de l'équation de la parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité. La courbe passant par l'origine et ayant pour tangente 0'y\
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 157
rensemble des termes du deuxième degré en v! et v' se réduit à aiu'* ; de plus la direction OV étant la direction asymptotique, on a ôi = 0, de telle sorte que Téquation est
Si les axes sont rectangulaires, la parabole est rapportée à son axe et à sa tangente au sommet.
Écrivons les formules (5), qui sont au nombre de deux, puisque a" = aï = :
* * ein*
sin*e A -i- A' — W cos
sin* 6 on en tire
^* ~ A 4- A' - 28" cos e "" 6^ 4- 6'^ 4- Ub' cos G '
. , . /— (A4-A' — 2B''cose) ^ sJWTWnWcôT^ sm2 6 sin*
L'équation réduite est alors
au'' . 2^ô2 4-6'2-»-26ô'cose
ôs-j-6'«4-2ô6' cosô sin«6
ou
Au'î sin2 e ^ a. , ,
(Ô2 -+- 6'î •+- 2bb' cos 6)^
Le paramètre p a donc pour expression
I A I sin3 d
(62 + b'' 4- 26Ô' cos 0)«
On pourrait aussi, d'une façon analogue, obtenir Téquation de la parabole rapportée à un diamètre quelconque et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre, en se donnant l'angle 6' de ces deux droites.
146. Exercice. — Trouver Véquation d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes.
Soit
réquation d'une hyperbole rapportée à deux axes faisant Tangle ô.
Nous nous proposons de trouver l'équation de cetle courbe rapportée à ses asymptotes.
Le centre étant à l'origine, on aura
V^ = bi = 0.
De plus les tangentes issues de l'origine étant les deux axes, les termes du second degré en u' et v' se réduiront à 2b'[u'v'y de telle sorte que l'équation de la courbe sera
2blu'v' -h a^w'-i = 0.
Les relations entre invariants peuvent alors s'écrire, en désignant par e' l'angle des asymptotes,
— a1bl^ A sin* e' sin* 6 '
2ar^b1 cos 6' __ A -j- A' — 2B'' cos 6 sin* e' "" sin* ô
sin^ e' sin2 6
De ces formules on peut tirer aj, b^ et 6'.
En divisant les deux premières successivement par la dernière,
on a
— b'i^ A sin2 6' a" sin* 6 '
2b'l cos e' A + A' — 2^" cos 6 sin^ 6' "" a'' sin^ 6
et, en éliminant b'[ , il vient
tg2 e' = -
on en déduit aisément al et b".
4Aa-sin*9 .
'^ "" (A + A' — 2B''cos6)2'
EXERCICES ET NOTES
1 . On peut obtenir les longueurs des axes d'une conique représentée par son équation tangentielle, en revenant à l'équation ponctuelle, et en transformant les résultats connus.
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 159
Soit
f(u, V, w) = au^ + a'v^ ■+• a'w^- -h 2bvw -+- 2b'wu + 'lb''uv = réquation d*une conique à centre.
Ti'équation ponctuelle de cette conique est
^{x, y, j) = Ax^ -+- AY 4- A'^jî + 2Byj + 2B'zx + 2B'a7y = 0,
et Ton sait que les demi-longueurs des axes sont racines de l'équation
dY -+- EDdp2 + D2 sin2 e = 0,
où Ton désigne par D le discriminant de la fonction ©(a?, y, z) et où Ton pose
d = A'A" — B«, E = A + A'-2B' cos 6.
Or on a D = A*, d = a"! ;
en remplaçant, on obtient Téquation trouvée au numéro 136, a^'p* H- Ea^pa + A sin^ 6 = 0.
On peut faire un calcul analogue pour la parabole.
2 . Lieu du centre d'une ellipse de grandeur constante tangente à une droite dontvée en un point donné.
Prenons le point pour origine et la droite pour axe des x ; Téquation de la courbe sera
Xu2 -t- 2xuw 4- 2yvw -h w?^ = ; écrivons que ses axes sont égaux à a et 6 ; on a
a2 -h 62 a?2 | y2 __ X, a2&2 = — Xy2 ;
éliminant \ entre ces deux équations, on a Péquation du lieu.
3. Enveloppe de V axe d' une parabole de paramètre donné tangente à deux droites rectangulaires,
4. Lieu des centres des coniques inscrites dans un triangle et dont la somme des carrés des axes est constante (Steiner).
Le lieu est un cercle qui a pour centre le point de concours des hauteurs du triangle, et qui se réduit au cercle conjugué si la somme donnée est nulle, c'est-à-dire si les coniques sont des hyperboles équilatères. (Voir ex. 2, p. i38).
5. Parmi toutes les coniques inscrites dans un rectangle donné, il y en a deux qui passent par un point donné A.
Etudier la nature de ces coniques et trouver le lieu du point A pour lequel les deux ellipses qui y passent ont la même aire ou des aires qui sont dans un rapport donné,
6 . Irowoer V équation tangentielle d'une ellipse donnée rapportée à deux tangentes aux extrémités des diamètres conjugués égaux.
7 . On considère des hyperboles asymptotes à une droite, tangentes à une autre droite et telles que le rectangle construit sur les axes ait une aire constante. Trouver Venveloppe de la deuxième asymptote et V enveloppe des axes.
Prenons rasymptote pour axe des a?, la tangente pour axe des y ; l'équation tangentielle des hyperboles est
V)'UVD + ^h^uv + u?2 = .
Soit 4A^ Taire du rectangle construit sur les axes ; on a
A* = h'^ sin2 e,
ce qui montre que h" est constant et a deux valeurs égales et de signes contraires. Le seul paramètre variable est h'. Les asymptotes satisfont aux équations
2h'u\jD -I- 2h''uv + io2 - Q^
&'w + to = ; en éliminant h' on a
2&*Mt? — 10» = 0,
qui représente une hyperbole rapportée à ses asymptotes. Les axes sont déterminés par les équations
h'^jc-^h^v b"u u — v cos 6 "" t? — u COS 6
en éliminant &',ona Téquation tangentielle de Tenveloppe des axes, qui représente une courbe de troisième classe.
8. Une ellipse de grandeur donnée tourne autour de son centre. Dans chacune de ses positions, on lui w,éne des tangentes aux points où elle est coupée par deux droites perpendiculaires fixes, menées par' ce centre. Trouver le lieu des points de rencontre de ces tangentes .
Trouver aussi Venveloppe des cordes de contact ainsi déterminées dans l'ellipse,
9. l/équation d'une ellipse ayant pour centre le point (a?, y), pour
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 161
axes des droites de coefficients angulaires m et > et pour longueurs d'axes 2a et 2p, est
10. Une ellipse a son centre sur une hyperbole donnée et touche les asymptotes de cette hyperbole ; démontrer que la corde des contacts, correspondant au maximum de faire de l'ellipse, est tangente à une hyperbole semblable à l'hyperbole donnée.
