CHAPITRE IX FOTERS ET DIRECTRICES

147. On appelle foyer d'une conique un point tel que les tangentes issues de ce point à la conique soient parallèles aux droites isotropes, ou, ce qui revient au même, passent par les points cycliques du plan.

Si la conique n'est pas tangente à la droite de Tinfini, si c'est une ellipse ou une hyperbole, on pourra par chacun des points cycliques mener deux tangentes à cette conique; ces quatre tangentes se couperont en quatre points qui seront des foyers. Les deux points cycliques étant imaginaires conjugués, les tangentes issues de l'un de ces points sont imaginaires conjuguées respectivement des tangentes issues de l'autre ; les deux tangentes imaginaires conjuguées se couperont en un point réel.

Il en résulte qu'une conique à centre admet deux foyers réels et deux foyers imaginaires conjugués.

Si la conique est tangente à la droite de l'infini, si c'est une parabole, par chaque point cyclique on ne peut mener qu'une tangente, ces deux tangentes déterminent un seul foyer.

Donc la parabole admet un seul foyer réel.

Nous allons maintenant déterminer les coordonnées de ces points.

Soit /•(w, V, w) = au^ -h a'v^ -f- a"w^ 4- "^hvw -\- Wwu -^ Wuv —

l'équation tangentielle de la conique.

Cherchons Téquation aux coefficients angulaires des tangentes issues d'un point (ar, y) à cette conique. Nous écrirons pour cela que la droite

Y — 2/ = m(X — a?) est tangente ; on a

/•(m, — 1, y — mx) = ou am*-i-a'+a''(2/— ma7)2— 26(i/ — ma?)-i-26'm(t/— wa?)— 26''m =

et, en ordonnant par rapport à m,

Le point (a?, xj) sera foyer si cette équation a mêmes racines

que Téquation

m2 -4- 2m cos e -+- 1 = 0,

c'est-à-dire si l'on a

(^"xy — hx — h' y -h h'* „ ^ ^, , ,,x

a'a?2 — 26'ar -h a = — ^ -^ = a^ — 26i/ -f- a'. (1)

— cos 6 ,1 j \ j

Ces équations déterminent les coordonnées des foyers.

Pour discuter aisément, supposons les axes de coordonnées rectangulaires; l'équation aux coefficients angulaires des tangentes issues du point {x, y) doit avoir mêmes racines que

Téquation

on obtient alors les conditions

a"(2?2 — yS) — 2b'x + 26î/ -h a — af = 0, )

a"xy — 6a? — b'y + b" = 0. \ ^^^