Premier cas. a" yé

La conique est une ellipse ou une hyperbole.

Les équations (2) représentent deux hyperboles équilatères ayant toutes deux pour centre le point de coordonnées

— et — , c'est-à-dire le centre de la conique donnée.

Les asymptotes de l'une sont bissectrices des asymptotes de l'autre ; elles se coupent donc seulement en deux points réels, symétriques par rapport au centre.

Ces hyperboles sont appelées hyperboles focales.

On peut calculer les coordonnées des foyers ; en effet, les équations des hyperboles focales peuvent s'écrire

Nous voyons que ces deux courbes ne peuvent se réduire en même temps à un système de deux droites, car pour qu'il eu soit ainsi, il faudrait que

la conique donnée serait alors un cercle ; ce cercle passe par les points cycliques, et les tangentes en ces points se coupent au centre, qui peut être considéré comme un foyer singulier. Pour résoudre les deux équations ci-dessus, posons

les équations deviennent

On en déduit

X^-4-Y* = et par suite

ta" ou, en extrayant la racine,

Le produit XY devant avoir le signe de B", on prendra les mêmes signes devant les radicaux si B" est positif, et des signes contraires si B" est négatif; on aura ainsi les coordonnées des «deux foyers réels.

Les équations

sont les équations des hyperboles focales rapportées à leur centre.

En les divisant membre à membre, on obtient