Deuxième cas. a
La conique est une parabole.
Les équations (2) qui déterminent les foyers deviennent
— 2^>'ar + 26î/-t-a — a' = 0, )
— bx^b'ij^b" = (i', \ ^^^
elles sont du premier degré ; la parabole n'a donc qu'un foyer, comme nous l'avons déjà vu.
Le déterminant du système est 2(6'2 4- b^) ; il n'est jamais nul, car b et b' ne sont pas nuls en môme temps.
En résolvant, on a
{a^a')b—Wb''
2(6^ -f- b") ce sont les coordonnées du foyer.
151. Les équations (3) représentent deux droites rectangulaires passant par le foyer. L'une d'elles a pour coefficient angulaire — - > et nous savons que l'axe a pour coefficient
b angulaire — ; il en résulte que les deux droites représentées
par les équations (3) font avec les axes de coordonnées les mêmes angles en sens inverse que l'axe de la courbe et la tangente au sommet.
152. On pourrait déduire de là réquation de Taxe, en prenant une droite quelconque passant par Tintersection des droites (3)
— 2b'co-{-2(}y-{-a — a'-]-\ {—bx^b'y-h b") = 0,
et en déterminant >^ en sorte que cette droite ait pour coefficient
angulaire — ,•
On trouve ainsi
^-—bb^' et réquation de Taxe devient
6"(ô'2 ô2) tt'ia — a') bcc-by-^-^ pL__ ,
comme on Ta déjà trouvé au numéro 130.
153. Si la courbe est rapportée à son axe et à sa tangente au sommet, son équation est
pv^ — 2uw = ;
on trouvera sans peine que les coordonnées du foyer sont a?=:|, y = 0.
154. Les équations qui déterminent les foyers d'une conique renferment linéairement les coefficients de Téquation tangentielle de cette conique. Par conséquent, dans la recherche de lieux géométriques de foyers, il y aura souvent avantage à définir la conique variable par son équation tangentielle, surtout quand les conditions imposées à cette conique s'exprimeront simplement à Taide des coefficients de cette équation ; par exemple, si la conique est assujettie à être tangente à des droites, les points de contact étant fixes ou variables; à avoir son centre en un point donné; etc.
155. Applications. — 1® Lieu des foyers des coniques tangentes aux quatre côtés d'un parallélogramme.
Nous prendrons pour axes les droites passant par le centre du parallélogramme et parallèles aux côtés ; les équations de ces côtés seront
Écrivons que ces droites sont tangentes à la conique
f(u, V, w) = au* H- a'v^ -+- a^w^ H- 2bvw -+- ^h'wu -f- 2h''uv = ;
il vient
a + a^a» + 26'a = , a' + a^p^^sôp = 0,
On en déduit
ce qui montre que ces coniques ont pour centre l'origine, et
Remplaçons dans Téquation a et a' par leurs valeurs — a"ck^ et — a^p^; il vient
en posant „ = X, on a Péquation générale des coniques cônsi-
déréfis
a^u» + P'o^ — w?2 | 2\uv = 0.
Pour avoir les foyers de cette conique, on peut, soit écrire les équations (1} du numéro 147, soit former directement réquation aux coefficients angulaires des tangentes issues du point {os, y), et écrire que ces tangentes sont parallèles aux droites isotropes.
On trouve ainsi que les deux équations
a^m» + p* — (y — mx)^ — 2Xm = 0, m«H-2mcose h- 1 = doivent avoir mêmes racines, ce qui donne
cos 6 En éliminant X entre ces deux équations, on aura Téquation du lieu. Cette élimination est toute faite : on a a?» — 2/2 = a« — PS qui représente l'hyperbole équilatère circonscrite au parallélogramme.
2* Lieu du foyer d'une parabole de grandeur constante qui se déplace en restant tangente à deux droites rectangulaires. Prenons les droites données pour axes. Soit
/•(w, Vy w) = au^ -+- a't?» + 2bvw -+- Wwu -+- 2bfuv =
réquation de la parabole : pour qu'elle soit tangente aux axes, il faut qu'on ait
Écrivons que le paramètre est égal à p; on a (137)
^bb'b"
et le foyer
est déterminé par
les équations
— bx-
On aura
le lieu du
foyer
en éliminant &,
b' et b'
entre
ces
trois
équations.
Des deux dernières
on tire
remplaçons dans la première, qui peut s'écrire
&, 6', h" par des quantités proportionnelles ; on a
OU
équation d'une Kreuzcurve aisée à construire.
156. Directrices. — On appelle directrice relative à un foyer la polaire de ce foyer, ce qui revient à dire que la directrice est une droite telle que les tangentes menées à la conique aux points de rencontre avec cette droite soient parallèles aux droites isotropes.
Proposons-nous de déterminer analytiquement les coordonnées des directrices.
Soient (m, «, w) une directrice et (w^, «01 *^o) ^^® tangente dont le point de contact est sur la directrice ; on a
en éliminant w^ entre ces deux équations, nous aurons
ou
équation qui détermine les coordonnées u^ et Vq des tangentes aux points de rencontre de la courbe et de la directrice.
Tout revient à écrire que cette équation a mêmes racines que l'équation
^0 -1- ^0 — 2Mot?o cos 6=0.
L'équation précédente, développée, s'écrit
aulfi,' 4- a'vlfi,' + a\uji -+- v.fif — Uv,fL[u,fL -h v,Q
- Wu^uji + vj:;) -h Wu.vjl,^ = 0.
On aura donc
a lu — ^0 f^f^ -h- a/,„ — Q
Ces équations déterminent les coordonnées des directrices.
Elles peuvent s'obtenir plus rapidement en remplaçant dans les équations (1) qui donnent les foyers, a? et ^ par 77 et -^ ^ puisque toute directrice est polaire d'un foyer.
