Cherchons l'équation de la directrice de la parabole
les axes de coordonnées étant rectangulaires.
On aura pour déterminer les coordonnées de cette droite les
équations
en remplaçant les dérivées par leurs valeurs développées, on obtient u[—{a-ha')b'-i-'2bb'']-hv[b{a-i-a')—2b'b'']-h^w(b^^b'^) = 0,
abu H- a'b'v + ^bUw = .
En résolvant ces équations et en supprimant le facteur A^
on obtient
26' 26 —(a-t-a') L'équation de la directrice est donc
Wx H- ^by — (a + a') = 0.
158. Théorème de Steiner. — Si un triangle est circonscrit à une parabole, le point de concours des hauteurs est sur la directrice.
Prenons pour axes un côté AB du triangle et la hauteur issue du sommet opposé C.
Soient a et p les [abscisses des points A et
B, Y l'ordonnée du point C ; les droites AG
et CB ont pour équations
L'équation d'une parabole inscrite dans le triangle ABC sera de la
forme
«1*2 |. a'^2 | 35u^ | 2b'wu H- 2b''uv = 0,
avec les conditions
?^ Y P Pï ~ Multiplions les deux dernières respectivement par a et p, puis retranchons membre à membre ; on obtient
a ap
?&"""" "7 ' ce qui prouve que la directrice qui a pour équation 2b'x + 2by—a =
passe parle point ( 0, -j, c'est-à-dire par le point de concours
des hauteurs du triangle ABC.
On trouverait sans difficulté à Taide des mêmes équations que le lieu des foyers est le cercle circonscrit au triangle ABC.
159- On peut trouver par un procédé plus rapide Téquation de la directrice de la parabole, en considérant cette droite comme le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes rectangulaires à la courbe.
On sait que ce lieu est un cercle, appelé cercle orthaptique, quand la conique est à centre, et la directrice quand la conique est une parabole.
Soit
l'équation tangentielle de la conique.
L'équation aux coefficients angulaires des tangentes menées par le point {x, y) à la conique est (147)
7n2(aV— 26'x-ha)— 2m {a''xy—bx—b'y-i-b')-\-aY-'^by-ha' = .
Pour que ces tangentes soient perpendiculaires, il faut qu'on ait
ax^—2b'x-Jra-ha"y^—^by-\-a'-h2{axy—bx—b^y-\-à") cos 6 =
ou
a{x^ -h 2xy cos ^-^y^) — 2x(ô' -h b cos 6) — 2y (6 4- b' cos 6)
-h a H- a' H- 2b" cos G = 0, équation d'un cercle, si a" ^ 0.
Dans le cas où a!' = 0, cette équation représente une droite, qui est la directrice de la parabole,
2a?(6' -H 6 ces 6)4-21/(6-4-6' CCS 6) — (a -h a' 4- 26" ces 6) =0.
Si les axes de coordonnées sont perpendiculaires, l'équation du cercle orthoptique est
a" (a?2 H- 1/2) — 26'ar — 26j/ -h a + a' = 0,
et celle de la directrice
160. Nous n'insisterons pas ici sur les propriétés connues des foyers et des directrices dans les coniques, propriétés qui s'établissent pour la plupart à l'aide des formes réduites.
Nous terminerons ce chapitre en cherchant l'équation tangentielle d'une conique qui a pour foyer le point (a, p), pour directrice la droite
Moar4-Vo!/-^-w;o =0,
et pour excentricité e, les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires.
L'équation ponctuelle de cette conique est
Nous nous appuierons sur ce que les projections du foyer sur les tangentes sont situées sur un cercle bitangent à la conique, la corde des contacts étant Taxe perpendiculaire à la directrice. L'équation de ce cercle est
ou
[ul -4- vl)[{x - a)2 -^ (y - p)2] - e%u,x + v,y + w,)'
Soit une tangente quelconque à la conique
ux-\-vy -\-w = ;
les coordonnées de la projection du foyer sur cette tangente sont
UOL -{- V^ -{- W
en écrivant que ce point est sur le cercle, on a l'équation demandée.
On trouve ainsi
OU, en chassant le dénominateur u^-{-v^ et divisant par e*,
4-2(wa4-vp-+-M;)(î/oa-}-î?j,p+w;o)(wMo+rUo)=0 (4) OU encore [u{u^y. H- VqS -h t^o) — ^o("« 4- wp -h W)]^
H- [r(Woa -h VoP -H M^o) — ^o(«<« -H «P -♦- w;)j2
ou bien
Si le foyer est à Torigine, cette équation devient
161. Ces résultats peuvent s'obtenir à l'aide du principe de dualité (50 et suivants).
Les points cifcliques correspondent aux droites isotropes passant par l'origine, de telle sorte qu'à un cercle correspond une conique ayant pour foyer le point ; de plus, au centre du cercle, pôle de
la droite de Tinfini, correspondra la polaire du foyer, c'est-à-dire la directrice.
L'équation d'un cercle peut s'écrire
{x — az)2 4- (y — bz)^ — RH^ = ;
la courbe correspondante aura donc pour équation tangentielle
{u — aw)^ H- (i? — bw)^ — R2io* = 0.
Si Uq, Vq, Wq désignent les coordonnées de la directrice, on aura, en vertu de la dernière remarque,
de telle sorte que l'équation générale des coniques ayant pour foyer l'origine et pour directrice la droite (wq, î?o, ioq) est
D'autre part, on sait que l'excentricité est égale au quotient de la distance de l'origine au centre du cercle par le rayon ; donc
on en tire
et l'équation précédente s'écrit
Si l'on suppose maintenant que le foyer n'est plus à l'origine, mais a pour coordonnées a et p, on transportera l'origine des coordonnées au point (— a , — p) ; il suffira de remplacer dans l'équation précédente lo par Ma-f-i?pH-to et wq par WoaH-^op + i^o» si l'on veut que la directrice ait encore pour équation
UqX -{- Voy -\- Wo =z
dans le nouveau système d'axes.
On obtient alors l'équation trouvée plus haut,
[(uVq — vUq)ol — [vwq — woQ\f + [{uvq — vUq)? — (i/?Wo — w^o)]*
162. Dans le cas de la parabole, on a e = 1, et l'équation (4) du numéro 160 devient
EXERCICES ET NOTES
1 . On considère toutes les paraboles conjuguées par rapport à un triangle; démontrer que le foyer est sur le cercle des neuf points et qus la directrice passe par le centre du cercle circonscrit.
Prenons pour axes deux côtés du triangle ; Téquation générale des paraboles est (118)
M(ua + 2to) + {xtj(rp + 2îo) = 0. Le foyer est déterminé par les équations (147)
£n éliminant (x, on a Téquation du cercle des neuf points. L'équation de la directrice est ( J 59)
2a?(l + {xcos e) + 2y({xH- cos 6) — (a-f- |jip) = ou
2(07 + y cos e) — a -f- |Ji[2(a; cos 6 -h y) — P] = ;
elle passe par le point de rencontre des perpendiculaires menées aux milieux des côtés OÂ et OB.
2. La condition nécessaire et suffisante pour qu'un point soit foyer, est que deux droites conjuguées quelconques passant par ce point soient rectangulaires.
3. Enveloppe de la directrice d'une ellipse dont on donne un foyer, Veoscentricité et un point.
L'équation ponctuelle de Tellipse sera
ar« + y2 = «2 . : — ,
en prenant le foyer à Torigine. Écrivons que cette ellipse passe par le point donné (a, 0) ; on a
a«(tt2 H- tj*) — e2(wa + tc)« = ,
équation qui représente un cercle ayant pour centre le point donné
et pour rayon — •
4. On donne une parabole P et une de ses tangentes t dont le point de contact est A. Par les différents points de t on élève des
perpendiculaires atujc tangentes à P menées par ces points, autres que t. Ces tangentes enveloppent une seconde parabole P', tangente à t en un point B . Les paraboles P et P' ont même foyer y leurs axes sont perpendiculaires y la directrice de P passe par B, la directrice de P' passe par A.
5. Lieu des foyers des coniques tangentes à deux droites données en des points donnés. Séparer sur. le lieu trouvé les foyers des ellipses et des hyperboles,
6. B' un point pris sur une strophoïde droite, on mène les deux tangentes à la courbe y autres que la tangente au point considéré. Démontrer que la corde des contacts enveloppe une parabole ayant même axe et même sommet que la strophoïde, et son foyer symétrique du point double par rapport à ce sommet,
7. On donne deux axes rectangulaires Oxy Oy et un point A sur Oa? ; on considère les paraboles tangentes à Oy à l'origine et passant par le point A ; on demande V enveloppe des axes et des directrices .
L'équation générale des paraboles tangentes à Oy à Torigine est
i?2 -I- 2bvw 4- 2b' wu = 0.
L'équation des points de rencontre de cette courbe avec Ox est
(v 4 bw)^ — («2 + 2bvw 4- 2b'wu) =
ou
2b' ce qui donne Torigine et le point d'abscisse — -p- ; on aura donc,
en désignant par a Tabscisse du point A,
et par suite Téquation générale des paraboles sera i?2 -I- 2bvw — b^awu =. 0.
11 est alors facile de voir que les axes enveloppent une hypocycloïde à trois rebroussements et que les directrices enveloppent une parabole.
8. Lieu des foyers d'une ellipse de grandeur constante qui se déplace en demeurant tangente à deux droites perpendiculaires,
9. Lieu des foyers des paraboles touchant deux droites données et dont la directrice passe par un point donné.
10. Le lieu des sommets des parafhjles touchant deuj: droites per^ pendicuîaireSj et dont le foi/er décrit un cercie quia ces de-uje droites pour diamètres^ est une hypocy^'loiJeà quatre reà^roussements.
L'éqnation des paraboles est
2b'Ctc -X- 2b'KC*j -t- 2^^ ter =z , avec la condition
nous pourrons prendre
coso sino
Les coordonnées de la tangente an sommet satisfont aux équations
2brw -h 2b\cit -r- 2yur = 0,
bit — fju =z ;
on en déduit aisément les coordonnées dn point de contact, et l'on
trouve
x=z K cos^ o, ^' = R sin' o.
11. Si une droite fixe rencontre une s^rie de coniques ayant m-}. ne foyer et même directrice^ les tany entes à ce* coniques aux points o>9 elles rencontrent la droite fixe enveloppent une conique qui a me- ne foyer que les proposées , et qui touche à la fois leur directrice et hi droite fi^e. Cas où la droite est à Vin fini.
12. Si on coupe deux tangentes à la parabole par une perpendiculaire à Vaxe^ et qu'aux points B et C où elle les rencontre on élève des perpendiculaires à ces tangentes, la droite AD qui joint le peint de concours D de ces perpendiculaires au point de concours A d:s tangentes passe par le foyer.
13. Lieu des foyers des coniques tangentes à deux côtés d'un triangle et aux hauteurs correspondantes.
14. Lieu des foyers des paraboles dont les directrices passent p.ir un point fixe et qui touchent deux droites données.
Le lieu est un cercle circonscrit au triangle qui a pour côtés les deux droites et pour point de concours des hauteurs le point donné.
15. Si d'un point ^ pris sur une normale fixe à une conique en mène les trois autres normales, les trois côtés du triangle formé par les pieds enveloppent une parabole tangente aux axes de la conique,
cooRDo:(aÉE8. — n 12
et dont le foyer est la projection du centre sur la tangente au point diamétralement opposé au pied de la normale fixe.
Soit -2 + T2~* =^ l'équation de la conique donnée. Désignons par ux-\-vy-^w =0 une des droites dont on cherche l'enveloppe; les normales aux points de rencontre de celte droite se coupent en un point par lequel on peut mener deux autres normales, et la droite qui joint leurs deux pieds a pour pôle le point
, "" T' a et p désignant les coordonnées du pôle de la
droite ux-\-vt/-\-w = 0, en vertu des formules bien connues de
.loachimsthal. Or le pôle de cette droite ayant pour coordonnées
a^u I)^v et , les coordonnées du pôle de la deuxième droite
seront — et — • Il suffit alors d'écrire que ce pôle est sur la tanu V ^ r
gente au pied (a^i, ^i) de la normale fixe, ce qui donne
b^x^vw + a^yiwu — a^b^uv = 0, équation tangentielle d'une parabole tangente aux deux axes. Le foyer est déterminé par les deux équations
a^yiX — b^xiy = 0, b^xxi 4- a^yyi -+- aW = 0, ce qui démontre le théorème.
16. Lieu des foyers des coniques ayant même directrice et touchant deux droites.
17. Enveloppe des droites coupant deux cercles suivant des cordes
égales.
18. Enveloppe de la directrice d'une conique ayant un foyer fixe y passant par un point et touchant une droite,
19. Une parabole étant inscrite dans un angle donné, si la direction des diamètres est donnée, le lieu des foyers est une droite.
20. Lieu des sommets des paraboles qui, homofocales à une parabole donnée, sont tangentes à deux normales rectangulaires à cette courbe.
Le lieu est un cercle passant par le foyer ûxe^ et l'autre extrémité
du diamètre passant par ce point est le symétrique du sommet de la parabole donnée relativement à son foyer.
21. On donne trois coniques ayant un foyer F commun. Démontrer que V enveloppe des droites telles que leurs pôles par rapport à ces trois coniques soient en ligne droite^ est une conique ayant un de ses foyers en F.
22. On donne un point et une droite y et Von considère les coniques qui ont le point pour centre et la droite pour directrice. Démontrer qu'il existe deux de ces coniques tangentes à une droite quelconque du plan, et trouver comment doit être placée la droite pour que les deux coniques qui lui sont tangentes soient réelles.
Prenons le centre à Torigine, et soit x — a = l'équation de la directrice. On trouve aisément que l'équation générale des coniques est
X(w2H-t?2)-Moa = 0.
En écrivant que cette conique est tangente à une droite quelconque [u, V, ic), on a une équation du deuxième degré par rapport à \ qui détermine deux coniques.
Écrivons que Téquation en X a ses racines réelles ; on a
Or Téquation
'V^)-h2viD][oL{u^-hv^)—2vw] > 0.
a{u^-\-v^) — 2vw =
représente une parabole P ayant pour foyer Torlgine, pour axe Oy
et pour tangente au sommet y + — = 0; par suite cette parabole
passe par le point  (a, 0).
L'équation a{u^-\-'V^)-{-2vw = représente également une parabole symétrique de la première par rapport à O^c.
Nous avons obtenu au numéro 84 l'interprétation géométrique du signe du premier membre de l'équation tangentielle d'une conique. Remarquons ici que les discriminants des premiers membres des équations des paraboles sont égaux ; il en résulte que la
condition (1) exprime que la droite (u, v, w) rencontre les deux paraboles toutes deux en des points réels ou toutes deux en des points imaginaires. Mais on voit sans peine (analytiquement et géométriquement) qu'une droite ne peut rencontrer à la fois les deux paraboles en des points imaginaires.
11 en résulte que pour qu'il existe deux coniques réelles tangentes à une droite du plan, il faut que cette droite rencontre les deux paraboles en des points réels.
23. Lieu des foyers des paraboles qui touchent deux droites données et dont l'axe passe par un point donné.
24. Foyers dans les courbes quelconques. — On appelle foyer d'une courbe quelconque un point tel que parmi les tangentes issues de ce point à la courbe, il y en ait deux passant par les points cycliques.
Si la courbe est de classe n, par chaque point cyclique on peut lui mener n tangentes; les tangentes issues de l'un des points rencontrent en w2 points les tangentes issues de l'autre ; la courbe a donc n^ foyers, dont n seulement sont réels. Cette conclusion n'est exacte que si la droite de l'infini n'est pas tangente à la courbe ; dans ce cas le nombre des foyers se réduit.
Si la courbe passe par les points cycliques, c'est-à-dire est circulaire, le point de rencontre des tangentes aux points cycliques est ce qu'on appelle un foyer singulier.
On détermine aisément les foyers d'une courbe définie par son équation tangentielle f(u, v, w) := 0. On cherche l'équation aux coefficients angulaires des tangentes issues d'un point (a?, y), c'està-dire
/•(m, — 1 , y — mx) = 0,
et on écrit que cette équation admet les racines ± i (les axes de coordonnées étant rectangulaires).
