Si les deux coniques données sont bitangentes, Téqua
(1) L'ensemble des coniques représentées par l'équation (2) constitue ce qu'on appelle un faisceau tangentiel.
tion (2) est Téquation générale des coniques bitangentes à ces deux coniques. Pour le prouver, on raisonne comme au numéro précédent.
185. Si les deux coniques ont un contact du deuxième ordre en un point A, Téquation (2) est l'équation générale des coniques ayant au point A un contact du second ordre avec chacune des coniques données, et tangentes en outre à la tangente commune aux deux coniques.
Prenons le point A pour origine et la tangente en ce point
pour axe des x ; les équations des deux coniques s'écrivent
/*(m, V, w) = u^-h 2bvw H- '2b'wu -h a^w* = 0,
^(w, V, w) = w* -h ibvw H- ^b^wu + a^w^ = 0,
et l'équation (2) devient
u^i -h II) -h 26(1 + jx) vm; H- 2(6' h- |i6i) wu + (a' -h fxaj) w;* =
ou
«' + 2ii^ + 2^1±^ «,u+4^tif^t^'' = 0;
H-jjt 1 + K
cette équation représente, quel que soit fx, une conique ayant à l'origine un contact du deuxième ordre avec les deux coniques données.
Cette conique est aussi tangente à la tangente commune aux coniques données.
Le raisonnement s'achève comme dans les cas précédents en s'appuyant sur le théorème du numéro 179.
La démonstration est légèrement modifiée si le point A est à l'infini.
186. Si les deux coniques ont un contact du troisième ordre en un point A, l'équation (2) est l'équation générale des coniques ayant au point A un contact du troisième ordre avec les coniques données.
187. TiiÉORÉMK. — Le. lieu des pôles dhine droite fixe par rapport à des coniques inscrites dans un quadrilatère est une droite.
Considérons deux coniques inscrites dans le quadrilatère, et ayant pour équations tangentielles
fi[u, t?, w) = 0.
L'équation générale des coniques inscrites dans ce quadrilatère sera
/•(m, 13, w)-hiifi[u, V, w) = 0.
Le pôle d'une droite fixe (t*o, Vq, Wq) par rapport à Tune de ces coniques aura pour coordonnées
ce point décrit la droite qui a pour équation œ y j:
f'i\ A't', f'iw^
Si la droite donnée est à Tinfini, nous avons le théorème de Newton (116).
188. Exercice. — Étant donnés un cercle qui a pour centre le point et une parabole P, on considère toutes les coniques C inscrites dans le quadrilatère formé par les tangentes communes au cercle et à la parabole P. Trouver Venveloppe des polaires A du point par rapport aux coniques G ; Venveloppe des tangentes T aux coniques G, telles que les normales attx points de contact passent par le point 0, et Venveloppe des axes des coniques G.
(Concours général, 1889.)
Prenons deux axes rectangulaires passant par le point 0, Ox étant parallèle à Taxe de la parabole. Les équations tangentielles du cercle et de la parabole seront respectivement
au^ + a'v'^ + Wwu -\- Wuv = 0.
L'équation générale des coniques G sera alors
/•(u, V, w) = X[R«(t*2 H- 1?2) to«] + au^ H- a'v^ -\- 2b'wu -+- Wuv = 0.
Soient w, r, w les coordonnées de la polaire A du point par rapport à Tune des coniques G. L'équation du pôle est
et pour que ce pôle soit à l'origine, il faut qu'on ait - /*,: = XR2w -f- au -h b''v -f- b'w = 0,
1 /-^ = XR2r + b^c + a'i? = ; en éliminant \ on a Téquation tangentielle de l'enveloppe,
1 (uf^. — vfr^) = b^iu^ — v^) + (a' — a)uv — b'vw = 0. (a)
Cette enveloppe est une parabole dont Taxe est parallèle à Oy. Soient maintenant u, v, w les coordonnées d'une tangente T ;
on aura
en outre la droite qui joint le point au point de contact a pour
coefficient angulaire ^ ; pour qu'elle soit perpendiculaire à T, il
/« faut que
Éliminant X entre (p) et (y), on aura l'équation de l'enveloppe. Cette élimination est toute faite, puisque l'équation (y) ne renferme plus X. L'équation (y) est donc l'équation de l'enveloppe des droites T. Or cette équation est la même que l'équation (a). Il en résulte que les droites A et T ont pour enveloppe la même parabole.
Nous n'avons pas utilisé la condition (?) qui exprimait que la droite T était tangente à la conique C. Il résulte de là que l'équation (a) est l'équation de l'enveloppe des droites A qui sont perpendiculaires aux droites joignant le point à leurs pôles.
Les axes des coniques C jouissent des propriétés des droites A, et par suite sont tangentes à la parabole (a).
En conséquence^ les trois séries de droites considérées ont la même enveloppe : c'est la parabole
6"(w2 — i?2) | (a' — a)uv — b'vw =z 0,
qui a son axe parallèle à Ot/ ; les tangentes menées à cette parabole par le point sont rectangulaires ; donc la directrice de cette parabole est la droite Ox,
On vérifiera sans peine que le foyer de cette parabole est sur la droite qui joint le point au foyer F de la parabole P, à une distance du point F égale à OF.
Tous ces résultats peuvent se démontrer géométriquement (Voir Nouvelles Annales de Mathématiques j 3® série, tome IX, p. 35).
189. Supposons maintenant que Tune des coniques se compose de deux points P et Q ayant pour équations
P = au -h pu -f- Y«^ = 0,
c'est-à-dire que Toii ait
réquation
f{u,v,w)-hliFQ = (3)
est réquation générale des coniques tangentes aux tangentes issues des points P et Q à la conique (C) qui a pour équation
/*(", V, lo) = 0.
Si le point P est situé sur la conique, les tangentes issues de ce point sont confondues ; Téquation (3) est alors l'équation générale des coniques tangentes à la conique donnée au point P et tangentes aussi aux tangentes issues du point Q à cette môme conique.
On peut d'ailleurs vérifier analytiquement ce résultat en prenant le point P à l'origine, 'la tangente en ce point à la conique étant Taxe des x.
L'équation de cette conique sera
au^ -+- a"w^ 4- "ibvw h- Wwu = 0,
et l'équation (3) s'écrit
au^ -h a"w^ -h ^bvw + Wwu -f- \Lw{aLU -h P'u h- -^'w) = ;
elle représente bien une conique tangente à l'origine à Taxe des X.
190. Exercice. — On donne une ellipse E et un point P situé dans son plan. Trouver le lieu du point M tel que les tangentes menées du point P et du point M à V ellipse E forment un quadrilatère circonscriptible à un cercle.
Soient a^u^ -4- hH'^ — w^ = '
l'équation tangentielle de Tellipse E, a, p les coordonnées du point P et a?, y les coordonnées d'un point M du lieu. L'équation générale des coniques tangentes aux tangentes issues des points P et M à l'ellipse est
^à^u^ -+- hH^ — w^) H- (tea + r^ + w)(ux + ry + ic) = 0.
Écrivons que l'équation représente un cercle ; on a (101)
(Xa> + au»){l - X) - ^iL±fî! = (>,6J + py)( 1 ,,) iL±yl! ,
Éliminant X entre ces deux équations, on aura l'équation du lieu. La première peut s'écrire
De la deuxième on tire
et en remplaçant dans la première, on obtient
c2(a72 a2)(î/2 — ^2) = (aV — P^a?*)(a7* + y^ «2 — p2) ou c2(a72 — a2)(y2 __ p2) — |-a2(y2 p8) p2(a72 a2)][a72 — a'+î/S — p2j.
Cette équation est homogène et du deuxième degré en x^ — a^ et 2/2 — P; elle représente deux coniques dont les équations s'écrivent
Srz:^^ - ^*' S?^r72 - "^«»
mi et mj étant les racines de l'équation
On voit aisément que ce sont les deux coniques homofocales à l'ellipse E qui passent par le point P.
191 . Coniques homofocales. — Si les points P et Q sont les points cycliques dû plan, Téquation (3) est réquation générale des coniques homofocales à la conique (C) d'après la définition même des foyers.
Si les axes sont obliques et font Tangle 6, on sait que les points cycliques sont à l'infini dans les directions dont les coefficients angulaires satisfont à Téquation
m2 H- 2m cos 6 -h i = 0.
Pour qu'une droite ux-h vy-hw = passe par l'un de ces
points, il faut que son coefficient angulaire satisfasse
à cette équation, c'est-à-dire que l'on ait
w^-h v» — 2uv CCS e = ;
telle est réquation deTensemble des points cycliques.
Il en résulte que Téquation générale des coniques homofocales à la conique (C) est
/*(w, V, w) 4- [Jt(u' -\-v^ — 2wv cos 6) == 0.
Si les axes de coordonnées sont rectangulaires, cette équation devient
/*(m, V, w) 4- [Jt(u' -+- r') = 0.
Supposons que la conique soit une ellipse rapportée à ses axes, c'est-à-dire que
l'équation des coniques homofocales est
aV 4- ô V — m;« -h {jl(w« 4- u») = ou
(a« 4- [i)u* H- (6^ 4- fx) V» — w;' = 0,
et réquation ponctuelle correspondante est ^ . y'
a* 4- [JL 6* résultat connu.
192. On peut considérer des coniques homofocales comme inscrites dans un quadrilatère dont deux sommets opposés sont les points cycliques.
Par conséquent le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à des coniques homofocales est une droite (187) qui a pour équation
et Ton vérifie aisément que cette droite est perpendiculaire à la droite donnée.
193. Coniques bitangentes ù une conique donnée. — Supposons que dans Téquation (3) du numéro 189 les deux points
P et Q soient confondus ; cette équation devient
/•(ti, V, t(;) -h {jiP2 == 0. (4)
Nous allons démontrer que cette équation est Téquation générale des coniques bitangentes à la conique (C), les points de contact étant ceux des tangentes menées par le point P à cette conique.
Tout d'abord on voit que Téquation (4) est satisfaite par les valeurs de w, v, w qui annulent à la fois /*(m, v, w) et P, c'est-à-dire par les coordonnées des tangentes menées du point P à cette conique. Je dis de plus que ces tangentes communes ont mêmes points de contact dans ces deux coniques; en effet,
posons
o[u,v,w) = f{u, V, w;)-+-fiP2,
P ^ a?< H- pv -H Y^ i on aura
?t = /*i + 2HLPp,
cp;,= /*i,+ 2HLPY,
et si on remplace dans ces identités m, u, w par les coordonnées des tangentes menées par le point P, on a
Tw — /toi
ce qui montre que ces tangentes touchent les deux coniques aux mêmes ppints.
On verra ensuite aisément qu'on peut déterminer fx, en sorte que Téquation (4) représente une conique quelconque bitangente à (C), la corde des contacts étant la polaire du point F; on en conclut que (4) est bien Téquation générale cherchée.
194. Considérons maintenant un quadrilatère défini par les équations de ses sommets,
\ zzr 0, B = 0, c = 0, D = 0,
A et C étant opposés ainsi que B et D. On démontrera aisé-
ment que réquation générale des coniques inscrites dans ce
quadrilatère est
AC-f-[JiBD = 0.
Si Ton suppose, comme dans rexercice du numéro 155, que le quadrilatère soit un parallélogramme ayant son centre à l'origine et ses côtés parallèles aux axes de coordonnées, les sommets auront pour éc[uations
A = wa + i?P -f- 10 = 0,
C = — Mot — rjâ -f- to = 0,
B = t^a — vP -f-w? = 0,
D = — Ma + t?PH-to = 0;
réquation générale des coniques inscrites sera donc
(Ma4-t?P-f-î<?)( — uoL — v^-\-w) + ii{ua — rfj -h io)( — ua-ht?p-f-io) =
ou
(1 + fi)[io» — wM— t?2p2-| 2wt?a3(! — ji) = ; en posant
l + fJL *
on obtient
dHi^ + p2„2 u?2 + 2Xmi? = 0.
Cette équation peut être considérée comme l'équation générale des coniques tangentes aux tangentes menées à l'ellipse
a2w2 + p2pS — io2 =
par les points qui ont pour équations
c'est-à-dire les points à l'infini dans les directions Oa? et Oy.
195. Si le point B est sur la droite AC, on démontrera aisément que l'équation
AC -h fiBD =
est réquation générale des coniques tangentes aux droites AD, CD et à la droite AC au point B.
Considérons par exemple un triangle rectangle AOB dont nous
prenons les côtés pour axes de coordonnées ; désignons par a Tabscisse du point A, par h l'ordonnée du point B, et du point abaissons OC perpendiculaire sur AB.
Cherchons l'équation générale des coniques tangentes aux trois côtés du triangle AOB et touchant le côté AB au point C.
Les équations des points 0, A, B, C sont respectivement
10 = 0, wa-hM? = 0, i?6h-io = 0, ahHi + a^hv-^[a^-{'h^)w =.0 \
réquation générale des coniques considérées sera
[ua -\- w)[vh -^^ V)) -\- \L'w[ahHi -l-a^ôy + (a*-f-6*)to] = 0.
