Enfin si Ton a trois points
réquation générale des coniques tangentes en A et B aux droites CA et CB sera
AB + |jlC2 = 0.
Si on suppose que le point C soit à l'origine, A sur Ox et B sur Oy, réquation s'écrit
(ua H- w)[v^ -f- lo) + \t.w^ = ou
OL^UV H- ^VW + 7.WU + Xw?2 = 0,
comme on l'a vu au numéro 131.
197. On peut déduire de là l'équation générale des paraboles dont on connaît un diamètre et la tangente à l'extrémité.
Si on désigne par Xq, y^ les coordonnées de l'extrémité du diamètre, par a, p les paramètres directeurs du diamètre et par a', p' ceux de la tangente, l'équation générale cherchée est
(Ma?o -4- vj/o + ^)(wa H- i?P) H- \l[u^' + wp')» = ;
on peut en effet considérer la parabole comme tangente à la droite de l'infini, le point de contact étant dans la direction du diamètre.
Si les directions (a, 3) et (a', p') sont perpendiculaires, le point (a^o, I/o) est le sommet de la courbe.
198. Exercice. — Lieu des foyers des hyperboles ayant une asymptote donnée et tangentes en un point donné à une droite perpendicu^ laire à Vasymptote.
Prenons Tasymptote pour axe des y, la tangente pour axe des a?, et désignons par a l'abscisse da point de contact.
Les hyperboles considérées sont tangentes aux droites Oa? et Oy, la corde des contacts étant la parallèle à Oy menée par le point A.
Les équations du point et du point A sont
celle du point à Tinfini dans la direction Oy est
1? = ; nous avons ainsi les équations des points de contact et du point de rencontre des tangentes ; Téquation générale des hyperboles sera {ua -f- to) r + Xio* = 0.
Les foyers seront déterminés par les équations
X(a;2-ya)H-y =0,
En éliminant X entre ces deux éc[uations, on aura Téquation du lieu. On trouve ainsi
x[a?' H- y») — a[x^-- y») = 0, équation d'une strophoïde droite.
199. Revenons à Téquation (3) du numéro 189 et supposons que le point P soit situé sur la conique (C) ; nous avons vu que cette équation est l'équation générale des coniques tangentes à la conique donnée au point P et tangentes aussi aux tangentes issues du point Q à la même conique.
Supposons de plus que le point Q soit sur la tangente au point P à la conique (C) ; dans ce cas Tune des tangentes issues du point Q coïncide avec la tangente en P ; il en résulte alors que Téquation
/•(m, w, w) 4- fxPQ =
est Téqualion générale des coniques ayant au point P un contact du deuxième ordre avec la conique donnée, et tangentes à la tangente issue du point Q à la même conique.
200. Enfin, si le point Q coïncide avec le point P, Téquation
/•(m, t?, w) -i- [iP^ =
est réquation générale des coniques ayant au point P un contact du troisième ordre avec la conique (C), en supposant toujours que le point P soit sur la conique.
EXERCICES ET NOTES
1. On donne deux paraboles ayant pour foyer le point fixe et pour axes les deux droites rectangulaires Ox et Oy. Trouver l'équation de la tangente commune à ces deux courbes.
Trouver le lieu décrit par le milieu des points de contact quand la tangente commune passe par un point fixe.
On a aisément les coordonnées de la tangente commune en résolvant les équations tangenti elles
p{u^ 4- V^) — ^UVD = 0, gr(u2^t?2) — 2l?lO =
des deux courbes. Le lieu demandé a pour équation
2xy{x^ -f- y^) — (ai/3 — ^xy^ — 3aw?«t/ + ^a^) = 0, a, P désignant les coordonnées du point fixe.
2. Lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère circonscrit à un cercle,
3. D'wn point P du plan d^une ellipse, on mène les quatre normales, et Von considère le quadrilatère formé par les tangentes aux points d'incidence. Sur quelle courbe doit être situé le point P pour que le quadrilatère soit circonscriptible à un cercle ?
Soit à^u^ -h b^v^ — w^ = réquation de Tellipse ; on aura une relation entre les coordonnées u, v, w d'une tangente en un point d'incidence, en écrivant que la droite qui joint le point P{x, y) au
point de contact ( , J est perpendiculaire à cette
tangente ; on obtient ainsi
c'^uv — uwy + vwx =
il suffît alors d'écrire que réquation
a^u^ -+- bH^ — M?2 + \{c^uv — uwy H- vwx) = représente un cercle; on élimine X et on a Téquation du lieu,
4. Lorsqu'une conique est bitangenie à une conique donnée et tangente à deux droites, le pôle de la corde des contacts décrit deux droites formant faisceau harmonique avec les deux droites données.
5. Lieu des pieds des normales menées d'un point à une parabole de grandeur constante tangente à deux droites rectangulaires.
Soit M(a7, y) un point du lieu; on mène par M une perpendiculaire à MO ; on forme l'équation tangentielle de la parabole tangente aux deux axes et à la perpendiculaire au point M, et il suffit d'écrire que le paramètre de cette courbe est donné.
On trouve pour équation du lieu
6. L'équation tangentielle générale des coniques passant par deux points a, p, y et a', p', / est
(wa + «3-4- w^)[uot! + v^' + w^f) -+- y^{ux -\-vy -\~ wz)^ = 0,
^, y, z désignant les coordonnées du point de rencontre des tangentes aux deux points donnés.
7. Lieu des foyers des paraboles tangentes à une droite et admettant une corde commune parallèle.
Prendre pour axes la tangente et la perpendiculaire au milieu de la corde ; se donner comme paramètres variables les coordonnées du pôle de la corde.
8. Le lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère est une cubique circulaire passant par son foyer singulier. Réciproquement, toute cubique circulaire passant par son foyer singulier peut être définie de cette manière,
(G. HuMBERT, Nouvelles Annales, 3® série, tome Xll, p. 124).
9. Si une parabole est bitangente à une hyperbole équilatère, sa
directrice est perpendiculaire au milieu de la droite qui joint le centre de Vhyperhole au pôle de la corde des contacts. En effet, si la parabole a pour équation
a'(w2 — v^) — to^ -+- {îix' H- vy' + lo)^ = 0,
sa direclrice a pour équation
2xx' H- 2yy' — x'^ — y'^ = 0.
10. Lorsque /des" coniques sont inscrites dans un quadrilatère, il existe deux points d'où Von voit les coniques sotis un angle droit.
Ce théorème résulte immédiatement de 'ce que l'équation du cercle orthoptique contient linéairement les coefficients de Téquation tangentielle. Si ces coefficients sont fonctions du premier degré d'un paramètre, les cercles orthoptiques passent par deux points fixes.
On en conclut que les cercles décrits sur les trois diagonales d'un quadrilatère comme diamètre ont même axe radical.
11. Si quatre coniques*'' sont inscrites dans un quadrilatère, les pôles d'une droite quelconque ont un rapport anharmonique constant. (Ghasles, sections coniques.) ,
12. La somme des angles que font avec un axe fixe les tangentes communes à detix courbes algébriques ne change pas quand on remplace ces courbes par des courbes homo focales.
Soient
f{u, u, w) = 0, o[u, Vy w) =z
les équations des deux courbes ; cherchons la somme V des angles de leurs tangentes communes avec Ox.
Éliminons w entre les deux équations ; on a un résultant
R(m, V) = Aote"» -4- Aiu»»-*t? H Amt?"» = ;
en posant = «, on a l'équation aux coefficients angulaires ;
on en déduit
fer V — Al — A3 -h As
^^^ -Ao-Aâ + A*---' ou si Ton pose R(l, i) = M -4- Nt,
tgv = ^.
Or pour calculer R(l, t\ il suffit d'éliminer w entre les équations /•(I, î, w) = et cp(i, i, to) = ; par conséquent V ne change
pas si on remplace les équations des deux courbes respectivement
par les équations
f[u, t?, io)-f-(îc2-4-t?2)/*Ut«, t?, w?) = 0, <p(u, t>, w) 4- [u^ + v2)<pi(w, t?, w) = 0.
Ce théorème est dû à M. G. IIumbert.
La démonstration qui précède a été donnée par M. Ë. Borel. (Nouvelles Annales, 3« série, tome IX, p. 123).
13. Lieu des foyers des paraboles bitangentes à un cercle et passant par un point fixe,
14. Étant données les équations tangentielles de trois coniques^ /" = 0, ? = 0, 4* = 0> ayant trois tangentes communes, Véquation générale des coniques tangentes à ces trois droites est
En déduire Véquation générale des coniques tangentes à trois des tangentes communes à deux coniques données.
Soient /"= 0, cp = les équations tangentielles des deux coniques, et P = 0, Q = les équations de deux points situés sur une tangente commune T. Les équations des deux coniques pourront s'écrire
/•=AP + BQ = 0,
? = AiP -+- BiQ = 0, et réquation
^ = ABi - BA, =
représentera une conique tangente aux tangentes communes aux coniques données, excepté à la tangente T.
L'équation générale demandée sera
a/'-f-P?-f-T(ABi — BAi) = 0.
Appliquons cela à la recherche de Téqualion générale des coniques tangentes aux trois tangentes communes à deux paraboles, il faut exclure la droite de Tinfîni. On écrira
f[u, Vy w) = u{au -f- b"o -f- 2b* w) -\-v(a'v + b"u ■+- 2bw) = 0,
5>(tt, r, wl = u{aiu 4- b^v + 2b[iD) -f- v{a\v H- b^u -+- 2&iio) = 0,
et réquation générale sera
«/"-f- P? 4- -^[{au H- b"v 4- 2b'w]{aiV -f- blu -+- 2biw)
— {aiu-h blv + 2b\w){a'v -+- b"u H- 2bw]] = 0.
15. Quand deux angles sont circonscrits à une conique^ les quatre côtés et les deux cordes de contact sont tangents à une même conique.
L'équation de cette conique est
2{uifû^-hvifi^ H- Wif^\f{u, t?, w)
— (ufù^ -h vfr,^ -4- wf^o^){ufi^ H- tî/*„\ H- wf,i;^, = 0,
Mq, i?o, ioq et Ml, tJi, Wi désignant les coordonnées des -cordes de contact.
16 . L'équation générale des paraboles ayant pour foyer le point
(a, P) est
u^ + v^-\- (lia + t?P -f- w)(ku H- fJLi?) = 0,
X, [JL étant les paramètres directeurs de l'axe,
17. Pour quHl existe une conique passant pa^ deux points C et D, et tangente aux tangentes issues de deux points A e^ B à une conique S, il faut et il suffit quHl existe une conique passant par A et B, et tangente aux tangentes issues de C et H à la conique S.
Si l'on suppose que les points G et D soient les points cycliques, on a Texercice résolu au numéro 190.
Proposition corrélative. On peut en déduire la propriété suivante : l'enveloppe des axes radicaux de deux cercles dont l'un est fixe et r autre j variable^ reste tangent à detix droites fixes ^ se compose des deux paraboles qui passent par les points communs au cercle fixe et aux deux droites fixes,
18. Etant données deux coniques homofocaleSj trouver le lieu des sommets des angles droits AMA' dont les côtés MA et MA' touchent respectivement les deux courbes.
Les deux autres tangentes MB et MB' menées de M aux deux coniques se coupent aussi à angle droit.
Les droites qui joignent deux à deux les points de contact des tangénies MA et MA' ou MB et MB' enveloppent une conique homo focale aux proposées,
19. Soient A, B ei C, D deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère circonscrit à un cercle ; trouver le lieu du point de rencontre des tangentes communes aux coniques ayant pour foyers k et B et aux coniques ayant pour foyers G e* D.
[Revue de Mathématiques spéciales, tome 1, p. 310).
20. Une parabole de grandeur constante se déplace en restant ■tangente à deux droites perpendiculaires ; trouver le lieu de Vextrèmité du diamètre qui passe par le point de rencontre des deux droites.
Soit X, y un point du lieu ; l'équation générale des paraboles tangentes aux deux axes, et dont ce point est lextrémité du diamètre passant par Torigine est
[ux 4- ry -+- tc)(Mx -+- t>y) — (uo? — vyY = ; il suffît alors d'écrire que le paramètre est constant.
21. Lieu du centre d'une hyperbole équilatère de grandeur constante bitangente à une parabole.
22. Étant données des coniques homo focales y par un foyer F on mène une droite fixe ; les tangentes aux points de rencontre de cette droite avec les coniques enveloppent une parabole, qui a pour foyer le deuxième foyer F' et pour directrice la droite fixe. La portion de chaque tangente comprise entre la conique correspondante et la^ parabole est vue du foyer F sous un angle droit.
23. Trouver l'enveloppe des polaires d^un point fixe par rapporta des coniques homofocales»
L'équation générale des coniques étant
a^tt» + 6«r» — u:2 -h \(u^ -+- r«) = 0,
la polaire du point x^ p sera déterminée par
En éliminant X on obtient Téquation de Tenveloppe,
chiv -+- cLvw — piow = 0, qui représente une parabole tangente aux deux axes.
24. On considère des coniques homofocales, et Von demande Venveloppe des normales telles que les tangentes aux points d'incidence passent par un point fixe.
Cette enveloppe est la même que la précédente ; expliquer pourquoi a priori.
25. On a vu (ex. 23) que renveloppe des polaires d'un point fixe par rapport à des coniques homx)focales est une parabole. Quelle
courbe doit décrire le point fixe pour que le point de contact de Vaxe de la parabole avec son enveloppe coïncide constamment avec le foyer? La parabole a pour équation
cHiv H- <xvw — Pwto := 0.
Son foyer est déterminé par les équations pa? 4- ay — ,
— ow? -f- Py + c^ = ; on en tire
D'autre part, on trouve aisément que Taxe de la parabole a pour équation
«* -T- py a^ 4- p2 — " •
Considérons a et P comme fonctions d'une variable; cherchons l'intersection de l'axe avec la droite infiniment voisine et écrivons que ce point coïncide avec le foyer. II sera plus simple de poser
a z=: Çi COS a>, P = p sin to
et de considérer p comme fonction inconnue de o). L'équation de l'axe s'écrit
po? COS o) + py sin a> — c^ cos 2a) =
ou
c2 cos 2a) a? 4- y tg 0) = 0.
° p cos 0)
En différentiant, on a l'ordonnée du point de contact de l'axe et de son enveloppe,
y = 2^^'^^ ^(^ ^^^^ to 4- l)p H- p' cos o) cos 2a)].
Écrivons que cette quantité est égale à l'ordonnée du foyer
ou
c^ sin 0)
2p sin 0) cos 0) 4- p'
cos 2a)
p' sin
Intégrant,
cos 2a)
Lp = - L cos 2a) 4- LA,
p = A^cos 2a).
Cette équation représente une lemniscate de Bernoulli.
26. Une hyperbole équilatère homofocale à une ellipse intercepte sur les côtés d'un angle droit , circonscrit à V ellipse deux cordes égales.
27. Si Von considère des coniques homofocales, le lieu des points de contact des tangentes menées par un poM P pris sur Vun des axes est un cercle. Les cercles qui correspondent à deux points pris respectivement sur chacun des axes se coupent orthogonalement,
28. On considère les coniques tangentes à deux droites rectangulaires OA et OB en deux points variables et à une droite AB en un point C. On demande le lieu des foyers de ces coniques. Construire le lieu dans le cas particulier ou le point C est au milieu de AB et examiner ce que devient ce lieu lorsque G étant au milieu de AB, on a OA = OB.
29. Former l'équation générale des coniques pour lesquelles une droite AB donnée en longueur et en position est un diamètre, et qui sont tangentes à une droite ilD.
Séparer les points de contact de cette droite qui correspondent à des ellipses de ceuaf qui correspondent à des hyperboles.
Trouver le lieu des extrémités du diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact.
Prendre pour axes AB et une parallèle à CD menée par le milieu
de AB ; Téquation générale des coniques ayant AB pour diamètre
sera
(ua H- w){ua — w]-\- \u -h vmf = 0,
m étant le coefiîcient angulaire des tangentes aux points A et B»
30. Étant donnés deux points k et ^ sur une circonférence^ on demande le lieu des foyers des paraboles tangentes en k et ^ aux cordes MA et MB, lorsque le point M décrit le cercle,
31. Une ellipse et une parabole ont un foyer commun, et le second foyer de V ellipse se trouve sur la directrice de la parabole; démontrer que le triangle ayant pour sommets le foyer commun et les points de contact d'une tangente commune est rectangle.
En prenant pour origine le foyer commun et pour axe Ox Taxe focal de Pellipse, on voit aisément que les équations des deux courbes sont
h^u^-hv^) — 2cuw — ici = 0y (1)
c(w2 -\-v^)-\-uw-\- 2lvw = ,
et les tangentes communes vérifient Téquation
(&2 + 2c«)u -+- 2lbH -+- cto = ; (2)
en écrivant que les droites joignant l'origine aux points de contact d'une tangente sont rectangulaires, on a une condition que Ton peut obtenir en combinant (1) et (2).
32. Soient A, B, G, D quatre points quelconques d'un plan^ Da, D&, De les perpendiculaires abaissées de D, respectivement, sur les droites BG, GA, AB. Démontrer que les trois paraboles ayant pour foyers les points A, B, G et pour tangentes aux sommets les droites Da, D&, De, sont inscrites à un même triangle.
Soient (a;i, yi), (xi, y^)^ (a?8, i/j), (a?', y') les coordonnées des points A, B, G, D. La directrice de la parabole qui a pour foyer A est perpendiculaire à BG et passe par le point (2a?' — a7i, 2y' — yi) symétrique de A par rapport à D.
L'équation de la directrice est donc
Or on a vu, au numéro 162, que l'équation de la parabole qui a pour foyer le point (a, p) et pour directrice la droite (uq, Vq» *^o) ^st
(woa -h t?oP -h Wq){u^ -\- v^) — 2(Ma -h r? -h w)[uUq -h vVq) = 0.
L'équation de la première parabole peut donc s'écrire
(w2 -h v^)[(x2 — xs){x^ — x') H- (y2 — i/3)(yi — y')]
— (uxi H- vy^ -h w)[u(Xi — a^s) + «(ya — yz)] = 0.
On obtient les deux autres en faisant des permutations circulaires des indices 1, 2 et 3.
En ajoutant les équations des trois paraboles, on a une identité ; on en conclut que ces trois courbes sont inscrites au même triangle.
33. On donne un triangle ABC, un point D sur le côté BG et un point F dans le plan. On considère les deux coniques insc^Htes dans les triangles ABD, ACD et ayant pour foyer commun le point F. Le segment qui joint les points de contact de la tangente AD est vu du point F sous un angle dont la grandeu^r est indépendante du point D.
34. On donne un triangle et un point. On considère trois paraboles ayant le point pour foyer et tangentes à deux côtés du triangle. Si
Von mené à la 'première de ces paraboles la tangente qui coupe perpendiculairement le troisième côté du triangle^ et de même pour les deux autres, les trois droites qu'on obtient ainsi seront tangentes à une même parabole homofocale avec les trois autres.
35. Étant données deux paraboles de même sommet et dont les axes sont perpendiculaires :
4° Trouver le lieu des points tels qu'une tangente menée à une parabole et une tangente menée à Vautre soient perpendiculaires ;
2® Trouver les points pour lesquels les quatre tangentes sont perpendiculaires deux à deux;
3° Trouver r équation de la tangente commune réelle aux deux paraboles ;
4° Trouver le lieu de la projection du sommet commun sur cette ' tangente commune, quand le point dont les projections sur les axes sont les foyers, décrit une circonférence ayant son centre au sommet commun.
36. Étant données deux droites rectangulaires Ox, Oy et une circonférence touchant ces deux droites, démontrer que le foyer d'une parabole touchant les lignes Ox, Oy et la circonférence donnée décrit une circonférence tangente à Oa? et Oy.
Démontrer que la corde de contact de la parabole avec l'angle xOy enveloppe une hyperbole équilatère ayant pour foyer le point 0.
37. Une conique est inscrite dans un parallélogramme ABCD. La tangente menée en un point M de la. courbe rencontre les côtés BG CD respectivement en R, Q ; la parallèle à BG par M coupe AB en h., et la parallèle à GD par M coupe AD en N. Démontrer que les triangles LMQ et NMR sont équivalents ,
