OMBILICS ET DROITES QUI ONT MÊME PÔLE PAR RAPPORT A DEUX CONIQUES
201. On appelle ombilic relatif à deux coniques un point de rencontre de deux tangentes communes.
Comme, en général, deux coniques admettent quatre tangentes communes, les six sommets du quadrilatère formé par ces tangentes seront des ombilics. Deux sommets opposés de ce quadrilatère constituent ce que nous appellerons deux ombilics correspondants ou un couple d'ombilics ; il en résulte qu'un couple d'ombilics peut être considéré comme une conique singulière inscrite dans le quadrilatère des tangentes communes.
Cette remarque va nous permettre de déterminer analytiquement les ombilics.
Soient, en effet,
/(m, V, w) = au- 4- a'v^-h a'w^ -h '2,bvw -+- '^b'wu-h^b'uv = 0, (G) f^{u,v,w) = a^u^^a'^v^'^a^w^-hU^vw-h2b{wu-h^b''^uv = (Ci)
les équations des deux coniques. -
L'équation générale des coniques tangentes aux tangentes communes à (C) et à (Ci) est
f{u, V, w) -{- lfi{u, V, w) = 0, (1)
et cette équation représentera deux ombilics correspondants
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si le discriminant du premier membre est nul, c'est-à-dire si
l'on a
a + Xai b"-^U1 b' -hU\
A(X)= f-i-U'l a'-hla[ b + U, =0. (2)
b'-^U[ b-hU, a^ + lal
Cette équation est du troisième degré par rapport à X ; comme à chaque racine de cette équation correspond un couple d'ombilics, on voit bien que lés deux coniques admettent en général six ombilics qui seront déterminés si Ton peut résoudre l'équation (2).
Connaissant les ombilics, on en déduit aisément les tangentes communes ; la recherche de ces tangentes est donc ramenée à la résolution d'une équation du troisième degré, au lieu de l'équation du quatrième degré que nous avons discutée dans le chapitre X.
Mais la considération des ombilics et l'étude de l'équation (2) présentent un intérêt plus puissant que celui qui s'attache à la simplification toute théorique du calcul des coordonnées des tangentes communes.
Nous allons montrer en effet dans ce qui va suivre que de la nature des racines de l'équation (2) on peut déduire la nature- des tangentes communes aux deux coniques.
Auparavant il est utile de rappeler qu'étant donnée une équation du second degré
cp(M, V, IV) =0
dont le discriminant du premier membre est nul, cette équation représente deux points distincts si tous les mineurs du discriminant ne sont pas nuls.
Les coordonnées de la droite qui joint ces deux points vérifient les équations
cpL = 0, ci = 0, cp(, = 0,
lesquelles n'admettent qu'un seul système de solutions.
En outre l'équation ponctuelle correspondante représente une droite double, qui est précisément la droite joignant les deux points.
Si maintenant tous les mineurs du discriminant de la fonction ©(w, V, w) sont nuls, Téquation
représente deux points confondus ou un point double, et les
équations
^', = 0, cp[, = 0, cp', =
ont leurs premiers membres proportionnels et sont vérifiées par les coordonnées d'une droite quelconque passant par le point double.
202. Désignons par Ax, Al, A^, Bx, B'x, Ex les coefficients de a-4-Xai, «'n-Xa', , . . . , b''-hWi dans le développement du déterminant a(X); on aura les formules (93)
(a-hU,)^{l) = A;,Ai'-B^ {b-\-u,)^{\) = b;.b;-AxBx, \
(a'+Xa;)A(X) = AÎÂx" Bi^ (^' -f-Xôi)A(X) = B^Bx-AlBi, (3)
(a^4-Xa;)A(X) = AxA;.-b?, (ô^-t-xô'jAiX) = BxB5.-a:bî. )
Ces équations nous montrent que si une racine X' de Téquation (i^) annule tous les mineurs de A(X), les seconds membres des équations (3) seront divisibles par (X — X')*, et comme X' ne peut annuler toutes les quantités a-h^atr û/H-Xai, ... , car alors les coniques coïncideraient, on en conclut que X' est au moins racine double de Téquation (2).
La réciproque n'est pas vraie ; toute racine multiple de l'équation (2) n'annule pas nécessairement les mineurs du déterminant A(X).
203. Il résulte de ce qui précède qu'à toute racine simple de l'équation (2) correspond un couple d'ombilics distincts.
A toute racine multiple correspond soit un couple d'ombilics distincts, soit un ombilic double.
204. On retrouve la même équation (2) quand on cherche les droites qui ont môme pôle par rapport aux deux coniques (C) et (Cl).
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En effet, pour qu'une droite (m, r, w) ait même pôle par rapport aux coniques (C) et (Ci), il faut et il suffît que les
équations
U/^i + V/^^-HW/:. =0,
représentent le même point, c'est-à-dire que Ton ait ff fi fi
lu IV I w
/lu /iv 1 \w
ou, en désignant par — X la valeur commune de ces rapports,
Pour que ces équations admettent des solutions en m, u, w, il faut que le déterminant A(X) soit nul.
Si une racine V n'annule pas tous les mineurs, les équations (4) ont un seul système de solutions ; elles déterminent une seule droite ayant même pôle, c'est la droite qui joint les ombilics correspondant à la racine X'.
Si au contraire la racine X' annule tous les mineurs de A(X), les équations (4) ont leurs coefficients proportionnels ; elles déterminent une infinité de droites passant par l'ombilic double relatif à la racine X', et toutes ces droites ont même pôle par rapport aux deux coniques.
205. Théorème. — Les droites doubles ^*) relatives à deux racines différentes de V équation (2) sont conjuguées par rapport à toutes les coniques du faisceau (1).
Soient, en effet, Wi, Vj, Wi et Mj, «2, w^ ^^s coordonnées de ces droites, et X^, \ les racines correspondantes ; on a
(1) Il est naturel d'appeler droite double la droite joignant deux ombilics correspondants, puisque le premier membre de Téquation ponctuelle correspondante est carré parfait. Une droite ayant même pôle dans les deux coniques sera donc une droite double et inversement.
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