OU
àf dw2
Multiplions les trois premières équations de gauche par Mj, «2, W2 respectivement et ajoutons-les membre à membre ; opérons de même sur les trois équations de droite après les avoir multipliées par «i, Uj, Wi; on obtient
H 4- XiK = 0,
en posant, pour simplifier récriture,
^f ^f àf
0U2 UV2 0W2
df, ôf, df,
OU^ OV2 OW2
On déduit de là
puisque \ est différent de As.
On a alors, quel que soit X,
H -f- XK = 0, ce qui montre que les deux droites sont conjuguées par rapport à la conique
Cette conclusion subsiste si à Tune des racines, Xi par exemple, correspond un ombilic double ; dans ce cas une droite quelconque passant par ce point est conjuguée de la droite joignant les ombilics relatifs à X2 par rapport à toutes les coniques du faisceau.
206. Théorème. — Les couples d'ombilics relatifs à devx racines différentes de l'équation (2) n'ont pas de point commun.
OMBILICS 231
Je dis qu'on ne peut avoir
P, Q, R désignant des fonctions linéaires.
De ces relations on tirerait
AX,-XO = P(X,Q-X,R),
les deux coniques se composeraient alors chacune de deux systèmes de points, et ces deux systèmes auraient un point commun. Dans ce cas le premier membre de Téquation (1) se réduirait à un produit de deux facteurs, quel que soit X, et Téquation (2) serait identiquement satisfaite.
Le théorème subsiste si à Tune des racines, Xi par exemple, correspond un ombilic double P ; aucun des deux ombilics relatifs à Xj ne peut coïncider avec le point P.
207. Théorème. — A toute racine simple de l'équation (2) correspondent deux ombilics distincts et la droite qui les joint n'est tangente à aucune conique du faisceau (1).
Si à une racine multiple correspondent deux ombilics distincts, la droite qui les joint est tangente au même pointa toutes les coniques du faisceau ( 1 ) .
On sait que la dérivée d'un déterminant dont les éléments sont fonctions d'une variable est égale à une somme de déterfiainants qu'on déduit du déterminant donné en remplaçant successivement dans chaque colonne les éléments par leurs dérivées.
On a alors
a+Xfli bl b'-hlb[ b"-^lbl a\ b-hUi b'-^-Wi bi a'^-i-Xaî
a, b'-hU: b'-^W,
A'iX)= b'i a'-^la[ b-^Ui
b\ b'\-lb^ aVXaJ
qu'on peut écrire
a-hXai b'-hUl b\ b'+lb\ b^lb, a\
En différentiant de même les trois déterminants dont la somme constitue a'(>), on a
I A^CX) = A,{a -H Xaj 4- A;(a' -H \a[) -h Aî(a'' ^ Xaj)
+ 2B/yy -+- X^O -h 2Bi(è' + X (*;+ 2Bî(6-' + X^î),
où Al, Al, . .., Bï désignent les mineurs du discriminant de la forme fi{u, v, w).
Cela posé, soient Wj, Vi, Wi les coordonnées de la droite joignant les ombilics relatifs à la racine Xi de Téquation (2); on a, [f. étant un nombre différent de zéro (26),
^i = \^\y vl = jiAi,, w\ = fiAÎ,,
UiM^i = fiBx,, w;iMi = fiBi^, MiVi = fiBÎ^;
on en déduit
Comme on a aussi
/•(wi, u„ M^i) + Xi/;(ui, Wi, w;i) = 0,
on en déduit
/"(mi, ui, îi;i) = — fiXiA'(Xi),
et par suite, on a, quel que soit X,
A«i» ^u M^i) -+- X/i(Mi, Ui, Wi) = fl(X — Xi)A'(Xi).
En conséquence, si Xi est racine simple, a'(Xi) n'est pas nul ; il en est de même du premier membre de cette dernière relation; par suite, la droite (u^^ Vl,w^) n'est tangente à aucune conique du faisceau ^^\
Si au contraire Xj est racine multiple, a'(Xi) est nul et la droite Mj, ui, Wi est tangente à toutes les coniques du fais* ceau ^^\
Le point de contact est le même pour toutes les coniques puisque la droite a môme pôle par rapport à ces coniques.
208. Supposons que la racine Xi soit racine triple ; on aura ^
(*) Cette démonstration est due à M. Koenigs.
Nous nous sommes d'ailleurs servi dans l'exposition de cette théorie d'un excellent mémoire publié par M. Niewenglowski dans la Revue de Mathématiques Spéciales, tome I, page 285.
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alors
c'est-à-dire, en vertu de l'expression précédente,
Al (a -h 'kiai) -h A((a' -h X^) + A;'(a'' -h X^aî) -+-... = 0.
Désignons par a?, y, z et a/, t/, z' les coordonnées des deux ombilics : on aura
f{u, V, w) H- X,/i(u, w, t^) = (wa? -hvy-h wz){uoEf -f- uy' H- wz') ; on en tire
a H- laiA = a?a?', a' -\- X^aJ = yy', a^-f- Xia' = zz',
2(6-HXiôi)=î/z'-H2t/', 2(ô'-hAi6;)=za/-i-a?z', 2(6''-i-Xiô;)=art/'-hya/, et la condition précédente devient Aia?a/+Àiyy'+A;'zz'+Bi(yz'+zy')+B;(zx'+a:z')+Bî(a:î/'-+-t/a/)=0 ;
elle exprime que les deux ombilics sont conjugués par rapport à la conique (Ci).
Or la droite qui joint ces deux points P et Q est tangente au même point M à toutes les coniques du faisceau, en particulier à la conique (Ci) ; donc l'un des points P ou Q se confond avec le point M.
Dans le cas où /(m, v, w) -^'^\fi[u^ w, w) est carré parfait, à la racine Xj correspond un point double [x, y, z); la relation qui précède s'écrit
kyx^ -f- k[y^ -h Ajz» H- 2Bit/z -h 2B;za? + 2B';a:y = ;
ce point double est situé sur la conique (Ci).
Avant de passer à la discussion de Téquation (2), il nous reste à établir les théorèmes suivants au sujet de la réalité des ombilics.
209. Théorème. — A une racine réelle de Véquation en X correspondent ou deux ombilics réels^ ou deux ombilics imaginaires conjugués.
Nous supposons bien entendu réels les coefficients des équations des deux coniques.
Comme X est réel, /*(«, v, w) + \fx[u^ u, w) est décompo-
sable en une somme algébrique de deux carrés à coefficients réels. Si ces deux carrés sont affectés de coefficients de signes contraires, V+ A se décompose en un produit de deux facteurs à coefficients réels. Si cesdeux carrés sont affectés de coefficients de même signe, f-\- X/*! se décompose en un produit de deux facteurs dont les coefficients sont imaginaires conjugués ; les deux ombilics correspondant à ces facteurs sont également imaginaires conjugués, mais la droite qui les joint est réelle. On peut donc dire qu'à une racine réelle de Téquation en X correspond une droite réelle ayant même pôle par rapport aux deux coniques.
210. Théorème. — A une racine imaginaire de Véquation en X correspondent deux ombilics imaginaires non conjugués^ et la droite qui les joint est imaginaire.
Soit a -h p* la racine imaginaire ; si Téquation
représentait deux points réels ou imaginaires conjugués, on aurait
f+ (oc + peYi = (ïH- S^)(F -+- tQ% (e =±:1)
P et Q étant des fonctions linéaires à coefficients réels. On en déduirait
et l'on voit aisément que f et /i auraient leurs coefficients proportionnels.
On aura donc
/-♦-(«-+- Pi)/'i = (P 4- iQ)(P' -h iQ') et
On voit de plus que la droite qui joint les ombilics p 4- iQ = et P'-h e'Q' = est imaginaire, car si elle était réelle ses coordonnées annuleraient P, Q, F, Q'; elle coïnciderait avec la droite joignant les ombilics imaginaires conju-
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gués, ce qui est impossible en vertu du théorème 207, puisque la racine a + pi est simple.
Donc à une racine imaginaire de l'équation en X correspond une droite imaginaire ayant même pôle par rapport aux deux coniques.
