Discussion de l'équation en X
Premier cas. — L'équation en \ a ses trois racines distinctes. Soient Xj, Xj, X3 les trois racines ; on a
f + XiA = PiQi, f -f- l,f, = P2Q,, /' ^ X3A = P3Q3.
Les six points Pi, Qi, Pj, etc. sont différents et la droite qui joint deux ombilics correspondants, tels que Pi et Qi par exemple, ne contient aucun des quatre autres ombilics (207).
Les quatre droites, PiPj, P1Q2, QjPî, Q1Q2 forment alors un quadrilatère dont les côtés sont les quatre tangentes communes aux deux coniques ; les points Pg et Qa sont les autres sommets de ce quadrilatère.
Donc quand Téquation (1) a ses racines distinctes, les deux coniques ont quatre tangentes communes différentes.
Les trois droites PiQi, P2Q2, P3Q3 constituent un triangle conjugué commun par rapport à toutes les coniques du faisceau.
En ce qui concerne la réalité, on peut faire les hypothèses suivantes :
1** Supposons les trois racines X^, X,, X3 réelles.
Si les quatre points Pi, Qi, P2, Q2 sont réels, les quatre tangentes communes sont réelles; il en est alors de même des deux autres points P3 et Q3 ; le triangle conjugué commun est réel, ses côtés sont les diagonales du quadrilatère des tangentes communes.
On voit en môme temps que si deux couples d'ombilics sont réels, le troisième couple est également réel.
Si les quatre points Pî, Qi, P2, Q2 sont imaginaires conjugués deux à deux, les quatre tangentes communes sont imaginaires; en effet la droite P1P2 par exemple ne peut être réelle
puisqu'elle rencontre en un point imaginaire Pi la droite réelle PiQi.
Mais les deux points P3 et Q3 sont réels, car le point P3 par exemple est l'intersection des tangentes P1P2 et Q1Q2 qui sont imaginaires conjuguées; il en est de même pour Q3.
Le triangle conjugué commun est toujours réel.
2* Supposons Xi et X2 imaginaires conjuguées et X3 réelle. Les points Pi et Qi sont imaginaires non conjugués, mais ils sont respectivement imaginaires conjugués de P2 et Q2. Les droites P1P2 et Q1Q2 sont alors réelles et les droites P1Q2 et PjQi imaginaires conjuguées, puisqu'elles rencontrent en des points imaginaires les droites réelles P1P2 et Q1Q2; P3 et Q3 sont réels.
Dans ce cas les deux coniques admettent deux tangentes réelles et deux tangentes imaginaires conjuguées.
Le triangle conjugué commun a un côté réel et les deux autres côtés imaginaires conjugués.
On peut donc résumer de la manière suivante les résultats de cette première partie :
Quand l'équation en X a trois racines réelles et distinctes, les deux poniques ont quatre tangentes communes réelles ou quatre tangentes communes imaginaires conjuguées deux à deux, et le triangle conjugué commun est réel ^^\
Quand l'équation en X a une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées, les deux coniques ont deux tangentes communes réelles et deux tangentes communes imaginaires conjuguées, te triangle conjugué commun a un côté réel et deux côtés imaginaires conjugués.
212. Deuxième cas. — L'équation en a a une racine double nannulanl pas tous les mineurs de A(X) et une racine simple.
Soit Xi la racine double et Xj la racine simple; à chacune de ces racines correspond un couple d'ombilics distincts.
(1) Pour que les quatre tangentes communes soient réelles, il faudra qu'à deux racines au moins de Téquation en X correspondent des couples d'ombilics réels, c'est-à-dire qu'au moins deux racines rendent négatif Ax ou
Ax (25).
OMBILICS 23T
On a
/•-j- X/i = PiQi, f + \f, = P2Q2.
La droite PiQi est tangente à toutes les coniques du faisceau au même point; par conséquent l'ensemble des deux points P2 et Q2 constituant une conique du faisceau, on voit que l'un de ces points, P2 par exemple, sera situé sur PiQi.
Les deux coniques sont alors tangentes au point P2 et admettent pour tangentes communes les droites P1Q2 et Q1Q2.
Les deux droites PiQi et P2Q2 étant réelles, leur point de rencontre P2 est réel ; il en est de même de Q2. Par suite, à la racine simple Xg correspond toujours un couple réel.
Si à la racine double correspond un couple- réel, les deux tangentes P1Q2 et Q1Q2 sont réelles, tandis que si le couple relatif à la racine double se compose de deux points imaginaires conjugués, les deux tangentes P1Q2 et Q1Q2 sont imaginaires conjuguées.
On voit donc que dans ce cas les deux coniques sont tangentes en un point réel et admettent deux autres tangentes communes réelles ou imaginaires conjuguées.
213. Troisième cas. — Uéquation en \ a une racine double annulant tous les mineurs de A (X) et une racine simple,
Xi désignant la racine double et X^ la racine simple, on aura
la droite P2Q2 ne peut passer par le point Pi, puisque cette droite ne peut être tangente à aucune conique du faisceau. De ces équations on tire
(X2-X0/"=X2Pf-XiP2Q2, (X,-X2)A^PÎ-P2Q2.
On voit ainsi que les deux coniques sont tangentes aux points P2 et Q2 aux droites P1P2 et P1Q2. (196)
Le point Pi est toujours réel, les points P2 et Q2 peuvent être réels ou imaginaires conjugués.
Dans ce cas les droites qui ont même pôle par rapport aux
deux coniques se composent de la droite P2Q2 et de toutes les droites passant par le point Pi.
214. Quatrième cas. — IJ équation en "k a une racine triple n'annulant pas tous les mineurs de A(X).
Soit Xi cette racine : on a
/•+V, = PiQi.
Nous avons vu que, dans cette hypothèse (208), les deux coniques sont tangentes au point Pi à la droite PiQi, et elles admettent une seconde tangente commune passant par le point Qi.
Elles ont au point Pi un contact du deuxième ordre, puisqu'on a l'identité
/•=-Xl^-hP,Ql
et que le point Pi est sur la conique (C) (199).
La droite PiQi est la seule droite qui a même pôle par rapport aux deux coniques.
215. Cinquième cas. — U équation en \ a une racine triple annulant tous les mineurs,
Xi désignant cette racine, on a
/•-hX/i^p;,
et nous avons vu (208) que le point Pi était sur la conique (Ci). Il en résulte (200) que les coniques ont au point Pi un contact du troisième ordre, puisqu'on peut écrire
Toute droite passant par le point Pi a même pôle par rapport aux deux coniques.
216. Terminons cette discussion en cherchant dans quel <îas le premier membre de l'équation en X est identiquement nul.
En décomposant a(X) en une somme de déterminants, on obtient sans difficulté
a(X) = a 4- ex -+- OiX^ -f. AiX%
OMBILICS 239
A et Al désignant les discriminants des fonctions /*(u, u, iv) et ^(M, V, w)^ et en posant
e = Aai -f- A' a, 4- A-X -h 2B6i -+- 2B'ôJ -+- 2B"ôî, e, = A,a -f- Aia' -+- AJa' 4- 2Biô -f- W[b' 4- 2B;ô". Pour que A(X) soit identiquement nul, il faut qu'on ait A = 0, e = 0, ©1=0, Al = 0.
Les conditions a = 0, Ai = expriment que les deux coniques se composent de deux systèmes de points P, Q et Pi, Qi.
On voit aisément ^^^ que la condition e = exprime que la droite PQ est tangente à la conique (Ci), c'est-à-dire passe par Tun des points Pi, Qi. De même la condition Oi = exprime que la droite PiQi passe par Tun des points
Ces deux conditions seront réalisées simultanément si l'un des points P, Q coïncide avec l'un des points Pi, Qi ou si la droite PQ coïncide avec la droite PiQi.
Tels sont les seuls cas où l'équation en X est indéterminée.
217. Les racines de l'équation en X sont liées d'une façon très simple aux racines de Téquationdu troisième degré qu'on obtient quand on cherche les sécantes communes aux deux coniques.
L'équation en X peut en effet s'écrire
A -h Xe -+- X^ei 4- X^Ai = 0, . en posant
e = Aai 4- A'ai 4- A^ai 4- 2B6i 4- ^B'b[ 4- 2B"6; , ei = Aia 4- A;a' 4- Ata' 4- 2Bi^ 4- 2Biô' 4- 2BÏ6". D'autre part les équations ponctuelles des deux coniques sont
<p(ar, î/, z) = Ax^ 4- AY 4- A"z^ -h ^Byz 4- ^B'zx 4- 2B"xz/ = 0, oi(a?, y, z) = Aia:3-+-A;î/2-+-A;V4-2Biî/2 4-2B;2a?4-2B;arî/ = 0,
(1) Car si u, u, w désignent les coordonnées de la droite PQ, wS î;^ etc. sont proportionnels à A, A', etc.
et réquation du troisième degré exprimant que
?(a?, y, 2)-H[x?i(ar, y,z) = représente deux droites est
B'-hiiBI A'^-fxA; B-+-H^Bi =0.
B' ^- [aB; B -f- fxBi A*' + fJL Aï
Désignons Jpar S et 8i les discriminants des fonctions ?("^» 2/î 2) et cpi(a?, y, z) ; par a, a',... aj, ai... les coefficients de A, A', . . . Al , Ai . . . dans le développement de S et de 84 ; Téquation précédente pourra s'écrire
en posant
e = aAi + a'Ai -H a'^AÎ H- 2pBi + 2^'Bi -
61 = aiA -+- aJA' + ol^A" 4- 2piB 4- 2p;B' -
Or on sait que
8 = AS 81 = Aï;
de plus
a = A'A" — B^ = aA,
a' = A'^A — B'a = a'A, P = B'B"— AB = ÔA,
2?%, -2pîB\
On aura donc
et par suite Téquation en ii s'écrira
A^ 4- [xAe, -H ii\e H- {jL^Aî = 0.
Si Ton remplace dans cette équation [x par — • - ^ on ob-
tient l'équation en X ; par conséquent les racines des deux équations sont liées par la relation
Il résulte de là que les valeurs de 11 sont réelles ou imaginaires en môme temps que les valeurs de X.
On voit ainsi que les tangentes communes et les points communs seront tous quatre de même nature.
OMBILICS 241
Il y a quatre cas possibles : quatre points réels et quatre tangentes i éelles, quatre points imaginaires et quatre tangentes réelles, quatre points réels et quatre tangentes imaginaires, enfin quatre points imaginaires et quatre tangentes imaginaires.
Si deux tangentes seulement sont réelles, les deux coniques n'auront que deux points réels.
218. Plaçons- nous dans le premier cas et supposons que les deux coniques aient quatre tangentes communes réelles et quatre points de rencontre réels.
Nous avons démontré qu'il existait alors trois droites ayant même pôle par rapport aux deux coniques et que ces droites étaient les diagonales du quadrilatère formé par les tangentes; de plus ces droites forment un triangle conjugué commun dont les sommets sont les seuls points qui ont même polaire par rapport aux deux coniques.
On déduit de là, à Taide du principe de dualité, ou Ton peut établir directement, (jue si deux coniques ont quatre
points communs, il existe trois points ayant même polaire et que ces points sont les centres des couples de sécantes communes.
En conséquence, les diagonales du quadrilatère des tangentes communes forment un triangle dont les sommets coïncident avec les centres de sécantes communes; ce qui revient à dire que toute droite qui joint deux ombilics corres-
242 COORDOiNNÉES TANGENTIELLES. GÉOMÉTRIE PLANE
pondants contient deux centrés de couples de sécantes communes.
219. Applications. — Considérons les équations tangentielles de deux cercles,
R2(w2 + r«) — {au -+-bv-\- w)^ = 0,
En retranchant ces équations multipliées respectivement par R'* et R2, on obtient l'équation d'un système d'ombilics,
R'2(aM -\-bv-h w)^ — R2(a'w + b'v -h w)^ = 0. Ces deux ombilics sont sur la ligne des centres et la divisent harmoniquement ; ce sont les centres de similitude. L'équation de Tun de ces points peut s'écrire
(aR' + sa'R) u -+- {bK -+- e&'R) t? -|- (R' H- eR)^? = 0. (e = ±: 1) Les coordonnées de ces points sont donc
aK' -+- sa'R bR' + e^'R
R'H-eR ^^ R'H-£R "
On peut discuter d'ailleurs la réalité des quatre tangentes communes, et pour simplifier le calcul nous prendrons pour origine le centre du cercle qui a le plus grand rayon et pour axe des x la ligne des centres.
Les équations des cercles peuvent alors s'écrire
cp(M, V, w) = R'2(w2 -h v^) — (ua H- w)^ = 0,
en supposant R X R' et a > 0.
On a X/"(m, V, lo) -+- o{n, V, w) = (XR2 + R'2 — a^)u^ + (XR^ + W^)v^
(X(l)io2 — 2awio = 0, et l'équation en X peut s'écrire
en posant
L'équation en l admet la racine réelle — -nâ » à laquelle correspondent les centres de similitude, ombilics qui sont toujours réels. Pour que l'équation /■(X)= ait ses racines réelles, il faut
qu'on ait
(R3 -h R'2 — a2)2 — 4R8R'2 > ou
OMBILICS 243
qui se réduit par suite des hypothèses à
(R + R' — a)(R — R' — a)> 0; cette condition exprime que les deux cercles ne sont pas sécants.
Il en résulte déjà que si deux cercles se coupent, ils |î 'admettent que deux tangentes communes réelles.
Supposons maintenant que Téquation /"();) = ait ses racines réelles et cherchons la condition pour que les quatre tangentes communes soient réelles.
il faut pour cela que les deux racines de fCk) rendent négatif le mineur
Ax = -().R2 + R'^)()^-f-l).
R'2 11 est aisé de comparer les nombres -—1 et ~ -p- aux racines V et V de fCk). On reconnaît que — 1 est inférieur à ces
R'2 deux racines ; de plus — ^ est inférieur ou supérieur aux deux
racines selon que a^ est supérieur ou inférieur à R^ — R'^.
Si les deux cercles sont extérieurs, on a
Ax est négatif pour X = X' et pour x = X" ; les quatre tangentes sont réelles.
Si les deux cercles sont intérieurs,
a < R - R' et a<R+R';
donc a2 < R2 — R'2 ;
Ax est positif et les quatre tangentes sont imaginaires.
220. L'équation générale des coniques ayant deux foyers donnés
(a, b) et (a', b') est
'k{au-\-bv-\-w){a'u-{-b'v-\-w)-hu^-\-v^ = 0.
On peut en effet considérer ces coniques comme inscrites dans le quadrilatère dont les deux foyers et les points cycliques constituent deux couples de sommets opposés.
Cela étant, considérons deux coniques ayant un foyer commun ; leurs équations peuvent s'écrire
0L{au-\-bv-\-w){a'u-\-b'v-{-w)-^u^-\-v^ = 0, p(aw -\-bv + w){a"u -h b^v -\- w) -\- u^ -\- v^ = ; en retranchant membre à membre, on obtient l'équation d'un couple d*ombilics,
[au -f- &t? + w)[a [a'u -+- &'i? + to) — p [a^u -f- b"v + to)] = 0,
qui se compose du foyer commun et d'un point situé sur la droite joignant les deux autres foyers.
221. Par un procédé analogue on peut obtenir les foyers d'une conique représentée par Téquation
f(u,v,w)=zO.
Il suffit d'écrire que Téquation
f{Uj r, ic) — S (w2 H- i;2 — 2uv cos 6) =
représente deux points ; ces deux points seront des foyers. Pour cela, il faut que S soit racine de l'équation (125)
a'S^ sin2 e — (A -|- A' — 28" cos 6) S -f- A = 0. A chaque racine de cette équation correspondent deux foyers ; d'autre part les coordonnées de la droite qui les joint annulent les dérivées partielles
fu — 2S{u — v cos 6), fi — 2S(r — w cos 6), fîv ;
cette droite est donc axe de la conique (125).
222 Considérons maintenant deux coniques tangentes à l'origine à l'axe des x. Leurs équations sont
f = u^-h 2bvw -4- 2b'wu -h a"w?2 = 0,
fi = u^-^- 2biVW 4- 2b[wu -h a^w^ =. 0.
On en déduit
f^\f^ = u\i-{-y.)-h':{b-h\bi)vw-^2{b''\-'Kb[)wu-{-{a''-h'ka'[]io^ = 0,
et l'équation en X est
A(X) = - (l +).)(& 4- X&i)2 zz: 0. '
A la racine double — — correspondent deux ombilics situés sur
l'axe Oo; ; à la racine simple correspondent l'origine et un autre point.
Pour que ces deux coniques aient à l'origine un contact du deuxième ordre, il faut que l'équation en X ait une racine triple, c'est-à-dire qu'on ait
bi = b.
Le couple d'ombilics correspondant a alors pour équation
2 [b' — b[)y:u + {a" — a\)'ïjo^ = 0.
Pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que ces deux points soient confondus à l'origine, c'est-à-dire qu'on ait
OMBILICS 245
Nous retrouvons ainsi fort simplement les conditions obtenues au numéro l'72.
On établirait de la même manière les conditions pour que deux coniques asymptotes à Oa? aient à l'infini un contact du deuxième ou du troisième ordre.
223. Nous terminerons ces cas particuliers en considérant deux paraboles dont les axes sont parallèles à Ox et ayant pour équations
f=u^-\- a'v^ -+- 2b'uw + ^b^uv = 0,
fi = u^-ha[v^-^2b[uio-\-2biUV = 0.
On aura
/H-Vi = u\i-h\)-h{a'-h\a\)v^-]-2{b'-i-'kb\)uw + 2{b''-hWi)uv = 0,
et l'équation en X est
A(X) = - {a'-hXa[){b' 4- W,)'^ =z 0.
A la racine double — j- .correspondent deux points à l'infini,
ce qui pouvait se prévoir, puisque les deux courbes sont tangentes à la droite de l'infini au même point.
A la racine simple ; correspondent le point à l'infini sur Ox
et un autre point à distance finie.
Pour que les deux paraboles aient à l'infini un contact du deuxième ordre, il faut que l'équation en X ait une racine triple, c'est-à-dire qu'on ait
ai" bl' Le couple d'ombilics correspondant est
et pour que le contact soit du troisième ordre, il faut que ces deux points soient confondus, c'est-à-dire qu'on ait
224. Exercice. — On donne une conique, un point sur cette conique et Von considère un cercle variable tangent à la conique au point 0. On demande le lieu des points de concours des tangentes communes au cercle et à la conique.
Prenons pour axes des œ et des y la tangente et la normale au point à la conique donnée ; l'équation de cette conique est w2 -f- 2bvw H- 2b'wu + a^w^ = 0.
246 coordonnées' tangentielles. — géométrie plane
D'autre part, en désignant par m l'ordonnée du centre du cercle, son équation s'écrit
{vm -h w)^ — - m2(w2 -+- r2) — ou
m^u^ — 2mvw — lo^ = 0.
L'équation générale des coniques inscrites dans le quadrilatère des tangentes communes est
(1 + Xm2)w2 4- 2{b — 'km)vw + 2b'iou -+- (a" — 1)10^ = 0, et l'équation en X correspondante peut s'écrire
A(X) = — (1 + 'km^){b — Xm)2 = 0.
A la racine simple 5 correspondent l'origine et le point
dont on cherche le lieu; l'équation de ce point est donc
Ses coordonnées sont
et en éliminant — entre ces deux équations, oh a l'équation du
\ éliminant — entr m
lieu,
[h'y — hxY = x{2b'z — d'x),
qui représente une conique normale à l'origine à la conique donnée. On a aisément l'équation tangentielle du lieu en écrivant que l'équation
^4- — + 2&'w-h2èi? H- a''to = m* m
a ses racines égales en — , ce qui donne
t?2 w[2h'u -h 2hv -h oTu)) = 0, qui peut s'écrire
«2 -1- 2bvio -+- 2h'uw 4- aTid^ — {u^ -+- v^) = 0,
et sous cette forme on reconnaît que la conique trouvée est homofocale à la conique donnée.
Remarquons aussi que cet exercice est un cas particulier de l'exercice résolu au numéro 190. Le point P est dans ce cas sur la conique, et des deux coniques homofocales trouvées, l'une coïncide avec la conique donnée.
OMBILICS 247
EXERCICES ET NOTES
1. Nous avons vu que pour déterminer les ombilics relatifs à deux coniques définies par les équations tangentielles
f[u, 1?, w) = 0, fi{u, r, w) = 0,
on écrit que le discriminant de f-\-\fi est nul ; on obtient une équation
et en transportant une des racines dans f-h'kfh cette expression se décompose en un produit de deux facteurs linéaires qui, égalés à zéro, déterminent deux ombilics.
Si l'on veut trouver le lieu géométrique des ombilics relatifs à deux coniques dont Tune au moins est variable, on peut obtenir les coordonnées des deux points représentés par Téquation
même sans résoudre l'équation en x ; il suffit de décomposer en carrés f-\-\fi et de négliger le troisième carré qui est nul. On élimine alors les paramètres variables et \ entre les équations qui déterminent les coordonnées des ombilics et Téquation A ();)=: 0.
Les calculs sont souvent laborieux et cette méthode n'est pas à employer dans le cas général; elle n'est réellement avantageuse que lorsqu'on peut résoudre l'équation en \j ou lorsqu'on connaît à l'avance un ombilic, quand on sai t par exemple que les deux coniques sont tangentes, etc. Nous en donnerons d'ailleurs bientôt quelques exemples.
Dans le cas général il est préférable d'opérer de la manière suivante.
Soit (a?, y) un point du lieu ; j'écris que les tangentes issues de ce point aux deux coniques sont les mêmes, c'est-à-dire que les deux systèmes
ux H- ry + ic = 0, wa? + i?i/ H- lo = 0,
f{u, r, to) = ^ fi{u, r, w?) =
ont mêmes solutions, ou, en éliminant w entre ces équations, on écrit que les deux équations
f [w, r, — [lix H- vy)] = 0, fi [Uy t?, — {ux H- vy)] =
248 COORDONiNÉES TANGENTIELLES. GÉOMÉTRIE PLANE
ont mêmes racines en ti et v. On obtient deux relations entre lesquelles on élimine les paramètres.
2. Lieu des points de concours des tangentes communes à une ellipse fixe et à un cercle dont le centre est fixe et le rayon variable.
Soient
a»M« H- bH^ — w?2 = 0,
[uxq -h vy^ + W?)2 — p2(w2 + 1?2) =
les équations des deux courbes, p étant variable.
En opérant comme on Ta dit plus haut, on considère les équations
a^u^ + bH^ — [ux -h vyY = 0,
[u{x - X,) -+- v{y - y,)]^ - p«(u2 H- v^) = 0, et on écrit qu'elles ont mêmes racines, ce qui donne
(a? — a?o)^ -P' "~ {y — Vo)^ — P' "" (^ — ^o)(i/ - 2/o)* On élimine aisément p^, et on trouve comme lieu une strophoïde dont le point double est le point xq^ y^,
3. Lieu des points de concours des tangentes communes à une ellipse fixe et à une ellipse de grandeur constante qui tourne autour de son centre supposé fixe.
r.e^ équations des deux courbes peuvent s'écrire
a«w2 4. ^2^2 - io2 0,
a'^{u cos cp-l-t? sin oY-\-b'\u sin © — 1? cos oY—[ux^'\-'^yQ-^vyY=^,
a', b' désignant les demi-axes, x^, t/o les cordonnées du centre ; o est la variable.
On peut appliquer la même méthode.
4. Lieu des points de concours des tangentes communes à une ellipse fixe et à toutes les hjpzrbolei équilatères qui passent par les foyers {réels et imaginaires) de V ellipse,
5. Si Ton connaît un ombilic relatif à deux coniques, il est aisé d'en déduire l'ombilic correspondant, c'est-à-dire le point qui, joint à l'ombilic connu, constitue une conique appartenant au faisceau tangentiel déterminé par les deux coniques.
Soient, en effet, a, p, y les coordonnées d'un ombilic ; les équations des deux coniques pourront s'écrire
OMBILICS 249
/{m, V, w) 4- (ut. -h t?3 -f- w-(){ux + t?j/ -h wz) = 0,
/■(m, r, w) -h (wa -h i?? -h w^()(ux' + t?y' + lOî') = 0,
en désignant par f{u, t?, lo) == une conique quelconque tangente aux deux tangentes communes issues du point a, ^, y- En retranchant les deux équations, on a
(wa-f-t?p + iOY)[w(a7 '-oo')-{-v[y —y') +ic(j — «')] = 0,
et Tombilic correspondant au point (a, ?, y) a pour coordonnées X -a?', y — y\ s — i\
Comme ce point est sur la droite qui joint les points (a?, y, z) et {x\ y'f z'), on a le théorème suivant :
Si trois coniques ont un ombilic commun, les ombilics correspondants et relatifs aux coniques prises deux à deux sont en ligne droite.
6. Démontrer que si deux coniques de grandeur fixe ont un foyer commun F, et si Vune tourne autour de ce foyer dans son plan, le lieu des points de concours des tangentes communes à ces deux coniques est un cercle. Si les deux coniques sont telles que, dans une de leurs positions^ les tangentes communes soient parallèles, elles le seront dans toutes; montrer que la condition de parallélisme de ces tangentes communes est Végalitè des axes non focaux.
Le point F est un ombilic commun; on aura aisément l'ombilic correspondant.
Soit
a^u^ -h b^o^ — io^ =
l'équation de la conique fixe ; en transportant l'origine au foyer (— c, 0) Téqualion devient
ahi^ H- hH^ — {uc H- wf = 0,
^,2(^2 ^ y2) 2CUW — 1^2 = 0.
Si l'on désigne par 6 l'angle des axes focaux des deux coniques et par a', h\ c' les éléments de la conique qui se déplace, on trouve aisément que l'équation de cette conique est
&'2(m2 , ç2) __ 2c'(u cos e-+- 1? sin e)M? — i^^ = 0.
Éliminons u^-{-v^; il vient
io[2w(6V cos 8 — &'^c)-H- 2&Vt? sin 6 -+-(&2 — ô'^jw;] = 0,
nous obtenons ainsi' les coordonnées d'un point du lieu
2(6V cos e — h'-^c) __ 2b^c' siq .
il est aisé d'achever.
7. Lieu du sommet d'une parabole tangente et con focale à une ellipse ; enveloppe de la directrice et de la tangente au sommet.
Pour écrire que la parabole est tangenle à Tellipse^ on écrit que l'ombilic correspondant au foyer est sur Tellipse.
8. Lieti des centres des cercles tangents à une ellipse et admettant avec cette ellipse deux tangentes communes parallèles.
Soit a%2 ( 2,2^2 __ -loî — l'équation de Tellipse ; x, y désignant les coordonnées d'un point du lieu, on considère l'équation \{ahi^ + &2o2 io2) ^ (i^a; -h uy + w^ — R2(m2 h- v^) = 0,
et on écrit que celle équation représente deux points dont l'un est à l'infini et Tautre sur l'ellipse.
9 . Étant donné un parallélogramme OACB, on considère deux paraboles variableSy l'une tangente en k à AC et ayant pour diamètre OA, l'autre tari g ente en B à BC et ayant pour diamètre OB ; on suppose en outre que ces deux paraboles sont tangentes en un point M ; la tangente commune en ce point rencontre la seconde tangente commune en un point P.
Démontrer que la tangente en M passe par un point fixe et trouver les lieux géométriques des points M et P. Prenons pour axes OA et 08 et posons OA = a, OB = b. Les équations des deux paraboles sont
/*= pv^ -h u{ua + lo) = 0,
9 =: qu^-{-v{vb-\-w) =1 ; on en déduit
/•+ lo = u^{a + \q) -+- vHp-h'kb) -h uw -h Xt?io = ;
en écrivant que le discriminant est nul, on a
X«(aH->.î)H-p + X& = 0,
et pour toute racine de cette équation on a
/•-h X«p = {u + 'Kv)ïu{a + Xy) 4- r ^^y^ H- u?l = 0,
ou encore, en tenant compte de l'équation en X,
/•-hX? = {u-h'kv)[u{a-h'kq) — rx (a -4- X^) 4- w?] = 0;
cette équation représente un point à l'infini et un point à distance finie qui a pour coordonnées
a;=aH-Xs', yzz:— X(a+Xî). (i)
OMBILICS 251
Pour que les paraboles soient tangentes, il faut que Téquation en X ail une racine double.
Si on remplace X par cette racine double dans les relations (1), on a les coordonnées du point P ; au contraire en y remplaçant X par la racine simple, on a les coordonnées du point M.
La racine double X satisfait à Téquation dérivée
2\^q + 2a> -f- & = ; on en tire q = r-^ — et, en remplaçant dans (1), on a les
coordonnées du point P :
En éliminant \, on a le lieu du point P.
La somme des racines de l'équation en X est , donc la racine simple est égale à 2X ; les coordonnées du point M
sont alors
07 = — 2);^, yz=z—2a\ — i\^q,
ou, en remplaçant q par sa valeur —^ — >
En éliminant \ on aura le lieu du point M.
La tangente en M est la droite MP ; on vérifiera aisément qu'elle passe par le centre de gravité du triangle ABC.
10.. D'un point M situé dans Le plan d'une conique on mène à celle-ci les deux tangentes MA et MB, puis par le point M on trace une droite quelconque MG. Aux points A e^ B on construit les coniques ayant un contact du troisième ordre avec la proposée et tangentes à MC.
Démontrer que ces coniques touchent MG au même point G, et que si l'on faisait tourner l'une d'elles de manière à la rabattre autour de MC du côté de la première y les coniques obtenues auraient en ce point un contact du troisième ordre.
11. Une conique variable a un contact du deuxième ordre avec une hyperbole équilatère et a un foyer fixe au centre de cette hyperbole ; démontrer que les tangentes communes aux deux courbes se coupent sur une lemniscate,
12. En un point M d'une conique, on construit la parabole ayant
un contact du deuxième ordre et l'on prend le symétrique P du foyer de cette parabole par rapport à la tangente en M ; démontrer que le point M et son symétrique par rapport à P sont réciproques par rapport au cercle orthoptique.
Prenons pour axes la tangente et la normale au point M ; Téquation de la conique sera
au^ 4- io2 H- 2bvw + 2b'wu = 0.
L'équation générale des coniques ayant à l'origine un contact du deuxième ordre avec cette conique est (199)
au^ + lo^ + 2bvvD 4- 2b'wu -+■ w{olu -+- ?w)=z 0,
et par conséquent l'équation générale des paraboles pourra s'écrire
au^ 4- 2bvw 4- 2'kwu = ;
on verra aisément que la polaire de l'origine par rapport au cercle orthoptique passe parle point P.
13. Lieu des foyers et enveloppe des axes des paraboles ayant en un point donné un contact du deuxième ordre avec une conique donnée ,
14. On considère toutes les coniques ayant un contact du troisième ordre en un point donné avec une conique donnée ; trouver le lieu des centres, des foyers et l'enveloppe des axes.
On prendra pour axes la tangente et la normale à la conique fixe au point donné.
L'équation de cette conique sera
f{u, t?, w)= au^ 4- a"w^ 4- 2&i?io + 2b'wu = 0,
et l'équation générale des coniques variables sera
/•(w, t?, w)-\-Xw' = 0.
15. Deux ellipses égalés sont tangentes à la même droite au même point fixe, l'une par l'extrémité du grand axe. Vautre par V extrémité du petit axe. Les deux demi-axes a et b sont liés par la relation ab = constante . On demande le lieu des milieux des tangentes communes,
16. Etant données deux coniques tangentes en un point 0, on leur mène une tangente commune OR, ainsi que les tangentes communes extérieures A A', BB', qui se coupent en M. Cela posé, on demande de démontrer que :
OMBILICS 2S3
i° La droite PP', qui joint les points P et P' diamétralement opposés au point dans les deux coniques, passe par le point M.
2^ Les droites Pi^, A'B' qui joignent les points de coiUact de chaque conique avec les tangentes communes extérieures y se coupent en un point R qui est situé sur la tangente commune OR.
3^ Les tangentes menées aux deux coniques par le point R touchent les courbes en des points qui sont situés sur la droite MO.
On fera voir que, généralement, le point R ne partage cette propriété avec aucun autre point, et on déterminera la condition qui doit être remplie pour qu'il existe une ligne telle que les tangentes menées par chaque point de cette ligne aux deux coniques donnent quatre points de contact en ligne droite,
17. Lieu des centres des ellipses dont les axes ont une directioii donnée et qui ont, en un point donné, un contact du second ordre avec un cercle donné.
