CHAPITRE XIII

COORDONNËES TRILATËRES

225. Considérons trois droites formant un triangle et ayant pour équations

X = ttiX -h biy -f- CiZ = 0, ]

Y = a2X-h hy -h c^z = 0, \ (i)

avec la condition

ai 61 Ci

D = fla ^2 ^2 yéO.

Nous allons démontrer que l'équation d'une courbe quelconque peut s'exprimer en égalant à zéro une fonction homogène de X, Y et Z.

En effet, désignons par Ai, A2, A3, Bi,. . . C3 les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement du déterminant D ; des équations (1) on tire

Dic = AiXh-A2Yh-A3Z, \

Dy = BiX-hB2Y+B3Z, ( (2)

Ds = CiX H- C2Y + C3Z. )

Dès lors si l'équation d'une courbe est

COORDONNÉES TRILATÊRES 235

en remplaçant dans cette équation x^y^z par leurs valeurs (2),

l'équation devient

/'(AiX-+-A2Y-f-A8Z, B1X4-B2Y-4-B3Z, CiX^-CaYn-CaZ) = 0.

Réciproquement, toute équation de la forme cp(X, Y, Z) = peut s'exprimer en fonction de a?, t/, z en remplaçant X, Y, Z par leurs valeurs (1); on obtient

^[ttiX H- bnj -h CiZ, a^x-^-hy -h CjZ, a^x •+- ô^y 4- Caz) = 0.

Toutes ces substitutions étant linéaires, les équations transformées conservent le même degré.

Ainsi l'équation d'une droite pourra s'écrire

aX-+-pY4-YZ = 0; l'équation d'une conique,

aX^ -H a'Y^ 4- a'Z2 + 2?YZ -+■ 2p'ZX-f- âp'^XY = 0,

X, Y, Z désignant toujours des fonctions linéaires de a?, y, z qui, égalées à zéro, représentent trois droites formant triangle.

226. Supposons que dans les relations (i) on remplace x, y, z par les coordonnées homogènes d'un point M du plan; X, Y, Z prennent alors des valeurs déterminées qu'on appelle les coordonnées irilatères du point M.

On voit ainsi que tout point du plan a des coordonnées trilatères définies à un facteur constant près.

Réciproquement, étant données les coordonnées trilatères d'un point, les formules (2) déterminent à un facteur près les coordonnées homogènes de ce point.

Il résulte de là qu'un point est bien défini par ses coordonnées trilatères, et les considérations précédentes montrent que toute relation entre les coordonnées trilatères d'un point est la condition pour que ce point soit sur une courbe.

Le triangle dont les côtés sont représentés par les équations (1) est appelé le triangle de référence.