Équation générale des points situés sur une droite

Supposons que la droite soit délinie par deux de ses points A et A', ayant respectivement pour équations

P = au H- 6u 4- cm; =0,

Nous allons démontrer que l'équation générale des points situés sur cette droite est

XP -+- fxP' = 0, (5)

X et |i désignant des nombres quelconques.

Remarquons en premier lieu que quels que soient X et jx, l'équation (5) représente un point situé sur la droite AA'. En effet, les coordonnées de cette droite annulant P et P', annulent XP -h fxP', et par suite vérifient l'équation (5).

En second lieu, il faut établir qu'on peut disposer de X et de fx en sorte que Téquation représente un point arbitrairement choisi sur la droite AA'.

Soit M un point quelconque de cette droite ; menons par le point M une droite ayant pour coordonnées Wi, r,, u'i, et déterminons X et Ht en sorte que Téquation (5) soit satisfaite par ces coordonnées ; on aura

Pi et Pj désignant respectivement ce que deviennent P et P'

quand on y remplace w, v, w par t/i, v,, tVi. On déduit de cette

relation

X = P/, fx=-P„

et en transportant dans l'équation [b), on a

P/P— PiP'^0,

équation qui représente un point situé sur la droite AA' et sur la droite «j, u,, Wi. Ce point est donc le point M, etla proposition est établie.

18. A Taide des considérations qui précèdent, on peut obtenir

d'une autre manière la condition pour que trois points soient

en ligne droite.

Désignons par

P = au "h bv -{- cw = 0,

P' r= a'u-\-b'v-hc'w = 0,

les équations des trois points A, A', A".

Si le point A' est sur la droite AA', son équation peut

s'écrire

ÀP-4-fxF = 0;

cette équation représentant le même point que l'équation P" = 0, leurs coefficients devront être proportionnels et on aura

XP -h fxF = — vF ou

XP-}-fxP'-f-vP'' = 0.

Réciproquement, s'il existe trois nombres X, ji, v tels que cette identité ait lieu, les trois points A, A', A' sont en ligne droite. On tire en effet de cette identité

— vF^XP + fiiP',

ce qui prouve que le point A" est sur la droite AA'.

On peut donc dire que la condition nécessaire et su ffisante pour que les trois points soient en ligne droite, est qu'il existe trois nombres X, jjl, v différents de zéro en sorte qu'on ait Pidentité

XP-h|JLP' + vP* = 0.

En développant cette identité, c'est-à-dire en écrivant que les coefficients de w, t\ w sont nuls, on a Xa + [xa' H- va* = 0, Ib-^^b' + ^b" = 0, Xc-i-jJLc' + vc" = 0,

d'où l'on déduit que le déterminant considéré au numéro 16 est nul.

19. Exercice. — On donne deux droites, trois points A, A', A" sur l'une de ces droites et trois points By B', B" sur Vautre. Les droites A'B" et A^B' se coupent au point G, A''B et AB" au point C, AB' et A'B au point G". Démontrer que les points G, G', G" sont en ligne droite.

Prenons la droite AA'A" pour axe des x et la droite BB'B" pour axe des y ; désignons par a, a', a" et b, b\ b" les abscisses et ordonnées de ces six points.

* ^ et —1; A"B' a

La droite A'B" a pour coordonnées -;» t;?

pour coordonnées —' t7 et —1. L'équation du point G peut

donc s'écrire (10)

OU, en développant,

On a de même pour Jes équations des points C et C",

Ajoutons membre à membre ces trois équations ; on voit que P + P'-f-P^^O, donc les trois points sont en ligne droite.