X, II
L'équation (4) renferme en réalité une seule variable indépendante, car on peut y considérer fx comme une fonction de X, définie par la relation (5).
On aura l'enveloppe en éliminant X et fi entre les équations (4), (5) et la suivante :
du.
-^ étant donné par
'"^ '«^ dX "• On déduit de ces deux dernières équations
?i «Pi,
On aura donc l'équation de l'enveloppe en éliminant X et (ji entre (4), (5) et (6).
52 COORDONNÉES TAN G EN Tl ELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
On verrait de la même manière que siTéquation des surfaces
enveloppées renferme trois paramètres X, fx, v liés par deux
relations
f[x, y, z, X, II, v) = 0,
cp(X, fi, v) = 0, ^(\ fl, v) = 0,
on aurait Téquation de Tenveloppe en éliminant X, fx, v entre ces trois équations et la suivante :
V^ ^'^ 'K On généraliserait aisément.
41. Les surfaces dont nous venons de déterminer l'enveloppe ont une équation générale qui dépend d'une seule variable indépendante ; elles touchent leur enveloppe en tous les points d'une courbe.
Il existe une deuxième espèce d'enveloppes relatives aux surfaces dont Téquation générale renferme deux variables indépendantes.
Soit /-(.r, y, z, X, PL) = (7)
Téquation donnée, et supposons pour un instant que [x soit fonction de X, comme au début du numéro précédent ; la caractéristique de la surface représentée par l'équation (7) sera définie par les équations
A^. y^ 2, X, ix) = 0,
fL{x, y, z, X, ix) -h /•^(x, y, s, X, (x) d{x
rf{X
rfX
Quelle que soit la valeur de -jr- 1 cette courbe passe par les points communs aux trois surfaces
fi^'y î/, 2, X, 11) = 0,
Ces points sont appelés les points limites de la surface (7), Le lieu de ces points quand X et ji varient de toutes les manières possibles est ce qu'on appelle l'enveloppe des surfaces (7).
On aura Téquation de cette enveloppe en éliminant X et ja entre les équations (8).
On démontrera comme plus haut (39) que Venveloppe touche chaque surface enveloppée aux points limites.
On voit qu'il y a une différence essentielle entre l'enveloppe des surfaces à une seule variable indépendante et celle des surfaces à deux variables indépendantes.
Dans le premier cas, chaque surface enveloppée touche l'enveloppe suivant une courbe.
Dans le second, chaque surface enveloppée ne touche l'enveloppe qu'en un nombre limité de points.
42. Il peut arriver que les surfaces enveloppées aient une équation
renfermant trois paramètres variables, X, {jt, v, liés par une relation
cp(X, (X, v) = 0. (10)
L'équation (9) ne renferme que deux variables indépendantes, car on peut y considérer v comme une fonction de X et de fji, définie par la relation (10).
Les points limites seront déterminés par l'équation (9) et les équations obtenues en différentiant cette équation par rapport à X et par rapport à ji.
On obtient
/"ifar, y, z, X, ji, v) 4- fl{x, y, ;:, X, (x, v) — = 0,
f'^[x, y, z, X, (X, v)+/'i(x, y, z, X, jx, v) = 0;
-TT- et -r— sont donnés en différentiant la relation (10) suc-
dX ()fX
cessivement par rapport à X et par rapport à {^,
54 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
En éliminant -^ et -r— entre ces quatre équations, on a
On aura alors l'équation de l'enveloppe en éliminant X, jx et v entre les équations (9), (10) et (il).
43. Enveloppe d'un plan. — Il nous est facile maintenant de répondre complètement à la question posée au numéro 35, à savoir d'indiquer à quelles conditions géométriques sont assujettis les plans dont les coordonnées vérifient une équation homogène en w, v, w^ r,
L'équation d'un plan,
ux -{- vy -^ wz ~{- rt = 0, (13)
renferme trois paramètres variables ; si on assujettit ce plan à vérifier la relation (12), le plan ne dépend plus que de deux variables indépendantes; il admettra une enveloppe de la seconde espèce; il touchera cette enveloppe en général en un seul point.
Le plan dont nous allons chercher le point limite ne peut à la fois passer par l'origine et être parallèle aux trois axes ; nous pouvons donc supposer que l'un des coefficients m, u, w^ r est différent de zéro, par exemple r i^f: 0, ce coefficient peut alors être considéré comme constant, il ne reste plus que les trois paramètres w, v^ w liés par la relation (12).
Nous sommes dans le cas étudié au numéro 42, le point limite sera déterminé par les équations
ux -h vy -h wz -i- rt = 0, — = 1- = —•
fi ri fi '
ces trois rapports sont égaux au rapport
ux-\-vy -\-wz — rt
Uf'u-^vf'. + wf'^ ^"^ ^^/
en vertu des relations (12) et (13) ; il en résulte que pour avoir Tenveloppe, il suffira d'éliminer m, v, m;, r entre les équations
fu fv fw fr
ux -\- vy -\- wz -h rt = 0.
On obtiendra ainsi une équation homogène en ar, y, z, t, qui sera Téquation d'une surface, et tous les plans dont les coordonnées vérifient Téquation (12) seront tangents à cette surface.
t 44. En résumé, nous avons vu que la condition pour qu'un plan soit tangent à une surface
s'obtient en éliminant x, t/, 2, t entre les équations
ux -\- vy -h wz -h rt = ; )
on obtient une équation résultante homogène en w, v, w, r qu'on appelle l'équation tangentielle de la surface. Réciproquement, étant donnée une équation f{u, V, w, r) = 0, tous les plans dont les coordonnées vérifient cette équation sont en général tangents à une surface dont l'équation ponctuelle s'obtient en éliminant w, v, w, r entre les équations
/u fv fw fr )
ux-hvy -hwz-^rt = 0. )
L'équation donnée,
sera dite l'équation tangentielle de la surface.
Nous appellerons donc équation tangentielle d'une surface la condition que doivent vérifier les coordonnées d'un plan pour que ce plan soit tangent à la surface, et pour éviter toute confusion, nous appellerons équation ponctuelle la condition que doivent vérifier les coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la surface.
L'une de ces équations se déduit de l'autre par des calculs complètement analogues, comme on le voit en comparant les systèmes (14) et (15).
Une surface sera donc aussi bien définie par son équation tangentielle que par son équation ponctuelle.
45. Considérons maintenant tous les plans dont les coordonnées vérifient deux équations homogènes par rapport à w, V, w, r,
Ces plans seront tangents à deux surfaces ayant pour équations tangentielles respectivement les équations (16).
Mais il est aisé de voir qu'en outre ces plans enveloppent une surface d'une nature particulière qui touche les deux surfaces représentées par les équations (16) en tous les points d'une courbe.
En effet, si un plan
ux -\- vy -{- wz -h rt = (17)
vérifie les équations (16), ses coordonnées sont fonctions d'une seule variable indépendante ; nous sommes dans le premier cas de la théorie des enveloppes ; nous pourrons considérer r comme constant, w, u, w comme des paramètres variables liés par les relations (16).
En se reportant au numéro 40, on voit que ce plan enveloppe une surface dont l'équation ponctuelle s'obtiendra en éliminant u, v, w^ r entre les équations (16), (17) et la suivante :
X IJ Z f u 1 V fw
L'enveloppe obtenue est une surface qui a une seule équation ponctuelle et deux équations tangentielles.
Nous dirons que ces surfaces sont développables et nous étudierons plus loin leurs principales propriétés.
On peut observer tout de suite que ces surfaces sont réglées et que le plan tangent est le même en tous les points d'une génératrice.
En effet le plan mobile qui enveloppe la surface coupe le plan inliniment voisin suivant une droite, caractéristique du plan, et le plan touche son enveloppe en tous les points de cette droite ; on peut donc considérer la surface comme le lieu de ces caractéristiques .
46. Ainsi au point de vue tangentiel, les surfaces se subdivisent en deux grandes catégories :
1® Celles qui n'ont qu'wwe seule équation tangentielle . Les coordonnées d'un plan tangent quelconque dépendent de deux paramètres arbitraires, et chaque plan tangent touche la surface en un seul point ;
2° Celles qui ont deux équations tangentielles, ce sont les surfaces développables. Les coordonnées d'un plan tangent dépendent d'wn seul paramètre arbitraire, et chacun de ces plans touche la surface en tous les points d'une droite.
Dans tout ce qui suivra^ quand nous parlerons d'une surface^ sans ajouter d'épithète, nous entendrons toujours une surface non développable, c'est-à-dire une surface ayant une seule équation tangentielle.
Nous commencerons par l'étude de ces surfaces, de leurs plans tangents, remettant au chapitre suivant l'étude des surfaces développables .
47. Condition pour qu'une équation tangentielle représente une courbe. — Nous avons vu au numéro 33 que la condition
58 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
pour qu'un plan soit tangent à une courbe s'exprimait par une relation entre les coordonnées du plan.
Réciproquement, étant donnée une équation
f[u, V, ii\ r) = 0,
il est intéressant de chercher dans quel cas cette équation représente une courbe, c'est-à-dire dans quel cas les points limites des plans dont les coordonnées vérifient l'équation donnée décrivent une courbe .
Nous nous appuierons pour cela sur un théorème bien connu, dont nous allons rappeler la démonstration.
Théorème. — Étant données deux fonctions ol et ^ de deux variables x et y^
« = f{^^ yh P = ?(^, y).
la condition nécessaire et suffisante pour que ol soil fonction de p est que le déterminant
doi
dx
dx
ày
ày
soit identiquement nul.
Ce déterminant est appelé le déterminant fonctionnel des deux fonctions a et p.
1° La condition est nécessaire. — Supposons que a soit fonction de p, c'est-à-dire que l'on ait
en différentiant cette relation par rapport à x et par rapport à Vî 011 21
d'où l'on tire
dx
dx
dy
ày
dx
dx ày
EL dx
2" La condition est suffisante, — Supposons cette condition remplie, je di^ que a est fonction de p.
Pour le démontrer, tirons y de la relation
P = T^ar, y) (1)
et remplaçons dans la valeur de a,
« = f{x, y) ; a devient alors en général une fonction de deux quantités P et a? ; nous allons montrer que dans le cas où le déterminant fonctionnel est nul, a ne renferme que z, c'est-à-dire que la dérivée de a par rapport à a?, après la substitution, est nulle.
Cette dérivée est en efTet
ôx dy dx ' d'autre part -^ s'obtient en différentiant la relation (1) qui définit y comme fonction de a? et de ? ; on a donc
