AX, Y, Z
cp(X, Y, Z) = 0,
on écrira que le plan (w, v^ w, r) passe par l'intersection des plans tangents aux deux surfaces au point {x, ?/, z) ; on aura ainsi deux relations obtenues en annulant deux déterminants à neuf éléments tirés du tableau
•fi
on y joindra les équations
A^i !/> 2) = 0, ^Xx, y, z] = 0,
et, en éliminant ar, y, z entre ces quatre équations, on aura la condition cherchée. On dira que cette condition est l'équation tangentielle de la ligne.
34. Dans le cas particulier où la ligne est plane et est située
dans le plan des xy par exemple, son équation tangentielle, c'est-à-dire la condition pour qu'un plan
ux -h vy ~\- wz -h r ==
soit tangent à cette ligne, est la même que la condition pour
que la droite
w.r -+- uy -+- r =
du plan des xy soit tangente à la ligne.
Ainsi réquation tangentielle de Tellipse
est V a*ti* + b^v* — r* = 0.
On a un résultat analogue si la courbe est située dans un autre plan de coordonnées ; par exemple, Téquation tangentielle de la parabole
z* — 2px = 0, y =
est
pw* — 2wr = ;
c'est la condition pour que la droite
ux -+- w's 4- r =
située dans le plan des zx soit tangente à la parabole donnée dans ce même plan. [Voir Première Partie {Géom. plane), n^ 40.]
35. Réciproquement, étant donnée une équation homogène par rapport à u, v, w, r, nous allons chercher à quelles conditions géométriques sont assujettis les plans dont les coordonnées vérifient cette équation.
Nous examinerons d'abord quelques cas particuliers. Supposons en premier lieu que l'équation ne renferme que deux variables, u et r, par exemple,
f{ih r) = 0.
Le premier membre de cette équation est décomposable en un produit de facteurs linéaires de la forme ua -h rb ; en égalant un de ces facteurs à zéro, on obtient l'équation d'un
46 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE
point situé sur Taxe des a?, d'abscisse t- si ô v^ 0, à Tin-
fini sur cet axe si = 0.
Il en résulte que Téquation proposée représente un ensemble de points situés sur Ox, réels ou: imaginaires, à distance finie ou infinie.
De même, toute équation de la forme
représente un ensemble de points situés sur Oj/, ..., etc.
Si réquation ne contient pas la variable r et renferme seulement u et r, elle représentera un certain nombre de points à rinfîni dans le plan des xy.
On peut dire d'une manière générale que si P et Q désignent des fonctions linéaires, toute équation de la forme
/•(P, Q) = 0, homogène par rapport à P et Q, représente un ensemble de points situés sur la droite joignant les deux points
P = Or Q = 0,
car le premier membre de Téquation précédente est décomposable en un produit de facteurs de la forme aP 4- bQ,
36. Examinons maintenant le cas où l'équation renferme seulement trois variables, w, Vy r, par exemple.
Pour que les coordonnées d'un plan vérifient Téquation f[u, V, r) = 0, il faut et il suffit que la trace de ce plan sur le plan des xy soit tangente à une certaine courbe, qui aurait pour équation tangentielle dans ce plan Téquation donnée, et dont l'équation ponctuelle s'obtiendrait en éliminant w, v, r entre les équations
f u fv / r
ux -h vy -\- rt = 0.
Il en résulte que l'équation donnée est l'équation tangentielle d'une courbe située dans le plan des xy.
On verrait de la même manière que les équations
cp(w, w, r) = 0, ^{v^ w, r) =
sont les équations tangentielles de courbes situées dans les
plans des zx et des yz.
Enfin, considérons une équation ne renfermant que les
variables w, u, w^
Si les coordonnées d'un plan vérifient cette équation, il en sera de même pour tout plan parallèle ; on en conclut que pour étudier géométriquement Tensemble de ces plans, on peut considérer seulement ceux qui passent par un point fixe, l'origine des coordonnées, par exemple.
Nous allons démontrer que ces plans sont tangents à un cône, et pour cela, nous chercherons l'enveloppe de leurs traces sur un plan parallèle au plan des ory,
Considérons une droite de ce plan,
ux-\-vy -{- r = 0^ z — h = 0,
Le plan passant par celte droite et par Forigine a pour équation
r ux-hvy-^-r-^— {z — h) = ;
pour que ses coordonnées vérifient l'équation (i), on doit avoir
On voit que les traces de tous les plans considérés sur le plan z — h =z enveloppent une courbe de ce plan ayant pour équation tangentielle l'équation (2).
Tous ces plans sont donc tangents à un cône ayant pour sommet l'origine et pour directrice cette courbe.
On en conclut que l'ensemble des plans définis par la relation (i) se compose de tous les plans tangents à ce cône et de tous les plans parallèles à ces plans tangents.
On peut donc considérer tous ces plans comme passant par
48 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
les tangentes de la courbe, intersection du cône et du plan de l'infini ; ces plans seront tangents à une courbe située dans le plan deTinfini, et Téquation (i) sera Téquation tangentielle de cette courbe.
37. Plus généralement, si Ton désigne par P, Q, R trois fonctions linéaires et homogènes de u, v, w, r et telles que les points représentés par les équations
ne soient pas en ligne droite, toute équation de la forme
homogène par rapport à P, Q, R, représente une courbe située dans le plan des trois points.
En effet, une droite quelconque A du plan PQR rencontre la droite PR en un point A et la droite jQR en un point B, ces deux points ayant respectivement pour équations
A = P — XR = 0, B = Q — fxR = 0;
pour qu'il existe des plans appartenant à Tensemble défini
par réquation (3), et passant par les points A et B, il faut que
les trois équations
p XR=:0,
Q — fxR =
aient un système de solutions communes, ce qui donne la
condition
/•(X, fi, 1) --= 0,
en écartant la solution évidente fournie par le plan des trois points.
On voit ainsi que les traces sur le plan PQR des plans de l'ensemble (3) doivent satisfaire k une condition ; ces droites enveloppent donc en général une certaine courbe située dans le plan PQR, et tous les plans de l'ensemble doivent passer par les tangentes de cette courbe.
11 en résulte que Téquation (3) est la condition pour qu'un
plan soit tangent à une courbe du plan PQR, c'est donc Téquation tangentielle de cette courbe.
38. 11 nous reste maintenant à examiner le cas général où l'équation donnée renferme les quatre variables m, r, w^ r. Nous commencerons pour cela par rappeler la théorie des enveloppes des surfaces.
Enveloppes des surfaces. — Considérons un ensemble de surfaces définies par l'équation
où X désigne une variable arbitraire.
Soit S une surface particulière de l'ensemble, relative à la valeur \ du paramètre et ayant pour équation
Donnons à \ un accroissement infiniment petit A, et considérons la surface S',
Les surfaces S et S' se coupent suivant une certaine courbe G] si h tend vers zéro, la courbe G a en général une position limite C sur la surface S qu'on appelle la caractéristique de cette surface.
Le lieu engendré par cette caractéristique quand \ varie est ce qu'on appelle l'enveloppe des surfaces représentées par l'équation (1).
Pour obtenir l'équation de l'enveloppe, remarquons que la courbe G peut être définie par les équations
quand h tend vers zéro, le premier membre de la seconde équation a pour limite /"((a?, y, 2, \) ; il en résulte que la courbe C a pour équations
On aura donc Téquation de Tenveloppe en éliminant \ entre ces deux équations, ou, ce qui revient au noême, en éliminant X entre les deux équations
A^i î/i h ^) = 0, fi{x,y,z,l)=0.
Les surfaces représentées par Téquation (i) sont appelées surfaces enveloppées.
39. Théorème. — L'enveloppe est tangente à chaque surface enveloppée en tous les points de la caractéristique.
Soit f[x, y, z, \) =
Téquation d'une surface enveloppée, et désignons par ar', t/, z' les coordonnées d'un point M de la caractéristique ; on aura alors
et le plan tangent à la surface enveloppée au point ar*, j/, z' a pour équation
Cherchons maintenant le plan tangent à Tenveloppe en ce même point.
Pour cela, on peut dire que Tenveloppe a pour équation /•(ar, t/,z, X) = 0, où X représente une fonction de a?, y, z définie par la relation n{x, y. z, ^ = 0. (3)
Le plan tangent en un point quelconque (ar, y, z) de cette surface a pour équation
■ -^ (Y - y)[ry{x, y, z, X) + fi{x, y,z,l) |^]
qui peut s'écrire, en tenant compte de la relation (3),
Remplaçons dans cette équation a?, y, z par les coordonnées a/, y', z' du point M de la caractéristique ; X prend une valeur déterminée, solution commune des deux équations
fia/, y, z\ X) = 0,
cette solution n'est autre que Xo, d'après les équations (2).
On voit ainsi que le plan tangent à l'enveloppe au point M coïncide avec le plan tangent à la surface enveloppée.
40. Supposons que les surfaces enveloppées aient une équation,
f{x, y, z, X, fi) = 0, (4)
renfermant deux paramètres variables X et ji, liés par une relation
