EL

dx dy dx

La dérivée de a devient alors

df dj^ 1^

dx dy d^

et cette dérivée est nulle en même temps que le déterminant fonctionnel.

Ce théorème étant établi, considérons un plan

ux -{- vy -h wz -\- r =^

dont les coordonnées vérifient une relation ; ces coordonnées sont alors fonctions de deux paramètres arbitraires.

Faisons r = 1; on peut supposer que w soit fonction des deux variables indépendantes u ei v, le point limite du plan sera déterminé par les équations

ux-hvy-\'Wz-hi =0,

dw du

'd'où Ton tire

dw du

dw dw du dv

dw du

ôv

Pour que ce point décrive une courbe, il faut et il suffit que . X et y soient tous deux fonctions de z, ce qui revient à dire

Or le déterminant fonctionnel des deux fonctions -r— et

dw , dw . , ^ .. , dw

que -r— et -r- soient fonctions de u -rr-

du dv du

dw dw

u -z — hv— w est

du dv

d^w du^ dudv

d^w dvF

dudv dv^

d^w dudv

du^

De même le déterminant fonctionnel de dw

dw 1^

et de

u -T — H V -t; w est

du dv

on devra donc avoir

Telle est la condition à laquelle doit satisfaire la fonction w pour que le point limite du plan décrive une courbe. Or la fonction w est définie par la relation donnée

/•(w, u, IV, 1) = 0.

On en déduit, en différentiant par rapport à u et i;,

du dw du '

dv dw dv

Différentions de nouveau la première de ces relations par rapport à w et u, et la seconde par rapport à t? ; on a

(?Y d'f dw d^ /dwy df d^w

du' dudw du dw' \àu) dw du' " '

d'f d'f dw d'f dw d^ dwdw df^ d'w dudv dudw dv dvdw du dw' du dv dw dudv '

d'f d'f dw d^/dw\' df^ d'w

dv' dvdiv dv dw' \ dv / dw dv'

En remplaçant dans ces équations -r— et --r- par leurs

valeurs tirées de (3), on obtient -r-^ i ^ > et -7— , et en ' ' du' dudv dv'

portant ces expressions dans la condition (2) on obtient une

relation qui peut se mettre aisément sous la forme

62 COORDONNÉES TANGENTIELLES . — GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE

dudv

dudw

dvdu

dvdw

<pf

dwdu dwdv dw^

Rendons homogène la fonction /"(u, v, w, 1) en replaçant la variable r ; on aura les relations ^f àf df df

dudv

dudw

d^f dudr

. . etc.,

m désignant le degré de la fonction f[u, i;, w;, r).

Multiplions les éléments de la dernière colonne par m — 1, et ajoutons-y les éléments des trois premières multipliés respectivement par — w, — v et — w\ les éléments de la quatrième colonne deviennent alors, après suppression du

i!L . Jï. . ^ et -^

dwdr dr

facteur r,

en remarquant que

dudr dvdr f{u^ u, w, r) est nul.

Multiplions enfin les éléments de la dernière ligne par m — 1, et ajoutons-y les éléments des trois premières multipliés respectivement par — w, — v et — w; la condition devient

à*f du*

dudv

à'f dudw

dudr

àV

dvdu

dv*

dvdw

dvdr

dwdu

dwdv

dw*

dwdr

drdu

drdv

drdw

dr*

Le premier membre de cette relation est ce qu'on appelle le Hessien de la fonction f{u, v, u\ r) ; et nous sommes conduits au résultat fondamental qui suit :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation

tangentielle

représente une courbe est que le Hessien du premier membre s' annule pour tous les systèmes de valeurs des variables qui vérifient r équation considérée.

Cela revient à dire que le Hessien qui est de degré 4(m — 2) est divisible par la fonction, supposée de degré m.

48. Cas papticulier. — Supposons que la courbe soit plane ; alors le premier membre de son équation tangentielle (37) est une fonction homogène de trois fonctions linéaires P, Q, R.

Or il est aisé de voir que le Hessien d'une pareille fonction est identiquement nul. On sait en efTet que le Hessien est un covariant, c'est-à-dire que si Ton effectue une substitution linéaire quelconque, le Hessien de la nouvelle fonction est égal au Hessien primitif multiplié par une puissance du module de la substitution .

Or si la fonction donnée est homogène par rapport à trois fonctions linéaires, on pourra trouver une substitution telle que la fonction ne renferme plus que trois variables, w, u, w par exemple^ et dans ces conditions on voit immédiatement que le Hessien est identiquement nul.

Par conséquent, si une équation tangentielle f(u, v^ w^ r) = représente une courbe plane, le Hessien du premier membre est identiquement nul.

On démontre que la réciproque est vraie, c'est-à-dire que si le Hessien de la fonction /*(w, v, w^ r) est identiquement nui,^ l'équation f{u, v, w, r) =

représente une courbe plane (*).

(*) Voir dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, tome XIII (1854), p. 398, une démonstration de M. Faure, et p. 402 une démonstration de M. Brioschi.

64 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

49. Parmi tous les plans tangents à une courbe, il y en a une infinité qui passent par une même tangente à la courbe, et tous ces plans ont le même point limite, c'est le point de contact de la tangente.

Ce résultat, presque évident, peut s'établir de la manière suivante.

Le point limite d'un plan est déterminé par les équations

ux -\- vrj -\- wz -^ \ = 0,

x-hz -^-^ = 0, ou

Si l'on suppose remplie la condition

\d^v) "ai? 1? ~~ ' on a

dw / àw

du "" \ dv

dw dw I dw

du ov

ou, en posant, pour simplifier l'écriture,

dw dw

up-{-vq — w = 9(7). (1)

Les coordonnées du point limite peuvent s'écrire

ces coordonnées étant fonctions d'un seul paramètre, ce point décrit une courbe.

Considérons un point de cette courbe défini par la valeur q^ du paramètre q ; nous allons voir qu'il existe une infinité de plans admettant ce point pour point limite, et que tous ces plans passent par la tangente h la courbe au point considéré.

dw \

GÉNÉRALITÉS SUR LES SURFACES fiS

En effet, u et v sont des variables entièrement indépendantes ; supposons-les pour un instant liées par une relation

alors M, V, w^ p, q sont fonctions d'un seul paramètre. Différentions la relation (1) ; on a

udp H- vdq-\-pdu H- qdv — dt/; = ^\q)dq,

ou, en remarquant que dw = pdu -h qdv^

udp -\- vdq = ^'{q)dq^

uf'[q)^v^^'(q).

Si Ton suppose que u eiv soient assujetties à la condition

on voit que w, v, w vérifieront les deux relations ^/"(^o) -\-vqç^ — W=^ cp(^o) , uf\q,) -h V = cp'(5ro) ; ces équations montrent que le plan

ux-^-vy -^wz-^i = contient la tangente à la courbe au point q^,

50. Classe d'une surface (ou d'une courbe). — Supposons que réquation tangentielle d'une surface (ou d'une courbe) soit algébrique ; on dit que la surface (ou la courbe) est algébrique.

Nous allons montrer que l'équation tangentielle a toujours le même degré, quels que soient les axes de coordonnées auxquels on rapporte la surface (ou la courbe) .

Nous établirons pour cela les formules très importantes de transformation de coordonnées qui nous seront très utiles dans la suite.

Soit

ux -^- vij -^- loz -^ r :=! (S

l'équation d'un plan P rapporté à trois axes quelconques Ox, Oy, 02.

Considérons un deuxième système d'axes, OV, O'y', O'z' définis par les coordonnées a?o, t/q, Zo de Torigine 0' et par les coordonnées des points directeurs des directions des nouveaux axes ; le point directeur de O'x' par exemple étant, par définition, un point situé à Tunité de distance de l'origine sur la parallèle menée par le point à la direction OV.

Nous désignerons par (a, p, y)> (*'î ^\ i) ^t (a', ^'\ -f) les

coordonnées des points directeurs de OV, 0'y\ O'z'.

' L'équation du plan P dans ce nouveau système sera de la

forme

wV -+- v'y'-^Txfz' -h ?•' = ;

nous allons calculer w, v, w, r en fonction de u\ v\ w\ /.

Entre les coordonnées x^ y, z et x\ y\ z' d'un même point, on a les formules connues

0? = Xo -h oa' -+- oi'y' -h oTz',

z = zo-h Y-x-' -h i^J' -+- i'z\

de telle sorte que l'équation du plan P par rapport au deuxième système est

u[xçi + aa/ -+- 7!xj' -h ^"z') H- i;(î/o -h t^' -f- ^y' -h ?z')

-H w{zçi -h ya/ H- ^'y' -f- i'z') 4-^ = ou

[ut. -4- u? -h wi)x' -H (ua' H- u^' + w;y)i/' H- [ut!' + y^" -h e^Y")3'

+ uxq 4- vyo H- «''Zo H- r = 0.

Mais comme cette équation s'écrit aussi

u'x' -h v'y' -h îi;V + / = 0, on aura

ut! h- v^^' -h î^y = \v\ I

wa?o -h vyo H- 2^'Zo H- ?' = V, / X étant un nombre arbitraire diiTérent de zéro. Résolvons par rapport à u, v, w, r, en désignant par

A, A', A", B, B', B', C, C, C" les coefficients de a, a', a", Pî V ?"i T> t\ / dans le développement du déterminant

on aura

fjLM = Au' H- kv' 4- AW,

liu z= Bw' -f- B'v' H- B'i^\

Ijlm;= Cw'h-CV-4-CV,

^r = A/ - a?o(Aw' -^ A'y' + A"w;') — 7/o(Bw' -4- B^u' -h B'^m;')

— Zo(Cw'-4-CV-+-CV), en posant

En conséquence, étant donnée l'équation tangentielle d'une surface (ou d'une courbe) par rapport aux axes Oar, Oy, 0;:,

on aura l'équation de cette surface (ou de cette courbe) par rapport aux axes OV, Oy, OV en remplaçant u, v, w, r par leurs fleurs (2) en fonction de u\ v\ w\ r'.

Comme m, v, iv, r sont des fonctions linéaires de u\ v\ w', r\ le premier membre de l'équation donnée conservera le même degré.

C'est ce nombre qu'on appelle la classe de la surface (ou de la courbe).

Dans le cas particulier oii les nouveaux axes sont parallèles aux premiers et ont le même sens, les formules deviennent

u = lu\

r = X( — u'xo — v'ijo — îv'zo -h r').

51. La classe d^ une surface {ou d'une courbe) est égale au nom-

68 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

bre de plans tangents qu'on peut mener à la surface [ou à la courbe) par une droite quelconque de l'espace.

Soit /*(w, t>, w\ r) =

réquation tangentielle de la surface (ou de la courbe).

Prenons deux points (j?o, i/o, Zo) et (a:i, t/i, z^) sur la droite donnée ; les plans tangents passant par cette droite seront déterminés par les équations

uxo -h vrjo + wzo + r = 0,

uxi -h vyi -f- wzi -f- r = ;

le nombre des solutions est égal au degré de la fonction f{u, V, w, r).

Le nombre de plans tangents qu'on peut mener à une courbe plane par une droite non située dans son plan est précisément égal au nombre de tangentes qu'on peut mener à cette courbe par le point où la droite perce le plan de la courbe.

La définition que nous venons de donner de la classe d'une courbe plane est donc identique à la définition donnée en géométrie plane. [Voir Première Partie (Géom, plane)^ n" 35.]

52 . Cas particuliers. — Comme application de ces théories générales, considérons le cas où l'équation donnée est du deuxième degré,

f[u, V, w, r) = au- h- a'v^ -f- aV H- 2bvw -h 2b'vm -h 2b"uv

-h 2cur 4- "^c'vr 4- Sc^tf^r -h dr^ = 0.

Le Hessien du premier membre est indépendant des variables; c'est le discriminant de la forme quadratique,

Si A =: 0, Téquation représente une courbe de deuxième classe, c'est-à-dire une conique.

On sait d'ailleurs que dans ce cas le premier membre de l'équation est décomposable en une somme de trois carrés,

f[u, V, w, r) = aP« -h PQ' H- tR' ;

l'équation représente donc une courbe plane, et les coordonnées de son plan sont déterminées par les équations

Nous discuterons plus tard la nature de la conique obtenue.

Supposons A i^zf: ; l'équation représente une surface

dont l'équation ponctuelle s'obtiendra en éliminant w, v, w, r

entre les équations

* fi ff fi /•/

ux -\- vy '\- wz '-\' rt =

au -t- b"v H- h'w -^ cr — Xx = 0,

¥u H- a'v -\-hw-^ dr — ly = 0,

h'u -\-hv + a"iv -h (fr — Xz = 0,

CM 4- c/v H- c"w -H rfr — Xf = 0,

+ vy + wz-\-rt

Le résultat de l'élimination est

équation du deuxième degré. Il en résulte que les surfaces de deuxième classe sont du deuxième degré.

En développant le déterminant qui figure dans le premier membre, on obtient un résultat fort remarquable, qu'on peut faire apparaître de la façon suivante.

Résolvons les quatre premières équations du système (1) par rapport à w, v^ w^ r, en appliquant la règle de Cramer et en désignant par A, A', A^ B, B', B", C, C, C", D les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement du discriminant A.

On obtient

Lu — l{kx 4- B'y -f- B'z H- CO ,

Au = X(B"a? H- k'y 4- Bz + Ct),

Mo = l[B'x H- By -f- A"z -h CH),

Ar = X(Cx 4- Cy -f- C"z H- D^ ;

transportons ces valeurs de w, v, w^ r dans la dernière équation du système (1) ; on a

(p(x, y, z, = Aar2 -f- ^Y ^ x"z^ -i- 2Bj/z H- ^B'zx -H SB'art/

-f- "^Cxt -f- 2CV^ 4- 2C''z^ -+- Dt^ = 0, (2)

c'est l'équation ponctuelle de la surface.

On vérifiera aisément que

Si Ton désigne par A' le discriminant de la fonction

?(ip, y, s, t),

on sait que