On peut recommencer des calculs analogues en partant

des équations ponctuelles de deux quadriques, et en cherchant l'équation tangentielle générale des quadriques qui passent par l'intersection des deux quadriques données.

On obtiendra une équation du troisième degré en X, et en annulant les coefficients de X et de X^, on aura les équations tangentielles de deux quadriques qui seront les enveloppes de plans coupant les deux quadriques données suivant deux coniques telles que Tune soit harmoniquement inscrite à l'autre.

En écrivant que le discriminant de l'équation en X est nul, on aura l'équation tangentielle de l'intersection des deux quadriques données.

279. Réseaux tangentiels. — Étant données les équations tangentielles de trois quadriques,

/i(w, V, w, r) = 0, /*2(w, V, w, r) = 0, ^Iw, v, w, r) = 0,

on appelle réseau tangentiel relatif à ces trois surfaces l'ensemble des quadriques définies par l'équation

où Xj, X2, X3 désignent des nombres arbitraires.

Ces réseaux possèdent des propriétés analogues aux propriétés des réseaux tangentiels de coniques [Voir Première Partie {Géom. plane), n° 266].

Parmi les quadriques du réseau, il en est une infinité qui se réduisent à une conique ; les plans de ces coniques enveloppent la surface développable définie par les équations

Cette surface est aussi l'enveloppe des plans dont les pôles par rapport aux quadriques du réseau sont en ligne droite.

àf.

àfi

àf.

àf^

df, dw

dh dr

df.

348 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

280. On démontrera comme en géométrie plane que deux faisceaux qui appartiennent à un même réseau ont toujours une quadrique commune,

Considérons le réseau défini par les trois quadriques suivantes :

i ^ Un point double 0,

2° Le cercle de Tinfîni,

3<^ Une quadrique quelconque Q.

En combinant ces quadriques deux à deux on a les trois faisceaux suivants :

i^ Les sphères de centre 0,

2^ Les quadriques bomofocales à Q,

3^ Les quadriques circonscrites à Q le long de la courbe de contact G du cône circonscrit de sommet 0.

Étant donné un faisceau quelconque appartenant au réseau, ce faisceau contiendra une quadrique faisant partie des faisceaux que nous venons d'énumérer.

On en déduit, par exemple, quMl existe une sphère de centre inscrite dans la développable commune relative à une quadrique Q' homofocale à Q et à une quadrique Q" circonscrite à Q en tous les points de la conique G.

Supposons que la quadrique Q soit de révolution et que la quadrique Q' se compose des deux foyers de Q situés sur Taxe de révolution ; on aura le théorème suivant :

Si une quadrique Q" est circonscrite à une quadrique de révolution Q, le cône circonscrit à Q" et ayant pour sommet l'un des foyers de Q est de révolution et son axe passe par le pôle du plan de contact de Q et de Q\

En remplaçant Q" par une section plane de Q, on a un autre théorème bien connu.

Si Ton substitue au point double un ensemble de deux points distincts, on obtiendra de nouveaux énoncés.

281. 11 n'existe pas en général de quadrique réduite à deux points parmi les quadriques d'un réseau, car en écrivant que le premier membre de Téquation est un produit de deux facteurs, on a trois relations homogènes par rapport à X^, Xj, X3, qui n'ont pas de solution en général.

Pour qu'il existe un ensemble de deux points A et B faisant partie du réseau, on devra avoir une identité de la forme

hifi -+- hf2 + hfz = AB,

en désignant par A = et B = les équations des deux points.

Cette condition exprime que Tune des trois quadriques est bitangente à une quadrique du faisceau déterminé par les deux autres, et que les sommets des cônes circonscrits (auxquels se réduit la développable relative à deux surfaces bitangentes) sont les points A et B.

Si cette condition est remplie, la même propriété subsistera pour trois quadriques quelconques du réseau n'appartenant pas à un même faisceau, et les sommets des cônes circonscrits seront les mêmes.

282. En considérant le réseau formé par deux quadriques inscrites dans deux cônes de sommets A et B et par le cercle de rinfini, on voit qu'il existe une quadrique de révolution ayant pour foyers A et B et inscrite dans la développable commune à deux surfaces homofocales aux quadriques données.

' 283. On peut aussi étudier des réseaux d'un autre genre relatifs à quatre quadriques,

L'équation générale des quadriques de ce réseau sera

Les plans des coniques de ce réseau enveloppent la surface qui a pour équation tangentielle

dh du

df.

àf.

df,

df, dw

àf.

df,

df^ dr

àf.

Cette surface est aussi l'enveloppe des plans dont les pôles

350 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

par rapport à toutes les quadriques du réseau sont dans un même plan.

284. 11 n'existe pas en général de quadrique réduite à un point double faisant partie du réseau

S'il en existe une, on aura une identité de la forme hifi + V2 4- hf,-hh,f, = F\ P = désignant Téquation du point double.

Cette condition exprime qu'il existe une quadrique circonscrite à /i et tangente aux huit plans tangents commims aux quadriques fu /i, A-

Si cette condition est remplie, la même propriété subsistera pour quatre quadriques quelconques du réseau, et le sommet du cône circonscrit sera toujours le même point P.

285. Considérons, par exemple, le réseau formé par une quadrique Q, deux coniques A et A' appartenant à cette quadrique et le cercle de Tinfini.

Soit P le sommet du cône circonscrit à la quadrique Q le long de la conique A ; le point double P fait partie du réseau considéré.

Prenons comme quadriques du réseau une quadrique Q' homofocale à Q, les deux coniques A et A' et le cercle de rinfîni ; on voit qu'il existera une sphère de centre P tangente aux huit plans tangents communs à Q', A et A'.

En particulier si les deux coniques A et A' sont tangentes en un point M et ai Ton désigne par D la tangente commune en ce point, on voit que le point P sera situé dans le plan tangent en M à la quadrique Q, et sera équidistant des deux plans tangents menés à Q' par la droite D.

On en conclut le théorème suivant (*) :

Si par une tangente D en un point M d'une quadrique Q, on mène les dev>x plans tangents à une quadriqtce homo focale Q', ces deux plans tangents sont également inclinés sur le plan tangent en M à la quadrique Q.

(*) Cette démonstration est due à M. Ravier {Nouvelles Annales de matfiématiqueSy 3e Série, Tome IX, p. 233).

On déduit de ce théorème que :

Tout cône circonscrit à une quadrique admet pour plan principal le plan tangent à toute quadrique homofocale qui passe par le sommet du cône.

On a par suite le théorème établi au n^ 254.

EXERCICES ET NOTES

1. Étant donné un ellipsoïde de centre et un point M, on considère les sphères qui passent par M et qui sont circonscrites à un tétraèdre conjugué par rapport à E. On demande :

{0 Le lieu des centres de ces sphères ; ce lieu est un plan P ;

2° L'enveloppe du plan P quand M décrit une sphère concentrique à l'ellipsoïde E ;

3° L'enveloppe du plan P quand le point M décrit un plan.

Soit

aV -h bH^ -h c^w^ — 7-2 =

réquation tangentielle de Tellipsoïde,

^.2 | y2 ^ ^2 2aa7 __ 2pî/ — 2y2 + 8 =

réquation ponctuelle de la sphère; on aura les conditions

^o + i/o -+-"2o — 2aa7o — 2pi/o— 2Y2o-f-8 = 0,

a?o, 2/0, ^0 désignant les coordonnées du point M.

1<^ On en conclut que le centre (a, p, y) de la sphère décrit le plan

2a7ûîo 4- 21/1/0 + 2^20 — [00% + t/g + 3^ -|- a^ -f- &2 j ^2) — q. (P)

2° Supposons qu'on ait

En désignant par Uy v, w, r les coordonnées du plan P, on aura 2a?o __ 2^ 2£o — (a^o + j/g 4- ^g + a^ + ^^ 4, ^2) u V w r ^ ^

En éliminant xo, yo, ^0 entre les équations (I) et (2), on a l'équation tangentielle de l'enveloppe du pian P.

On trouve aisément

352 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

équation qai représente une sphère concentrique à rellipsoïde et

Rs + aS-H&a + c* ayant pour rayon 5^

30 Supposons qu*on ait

Aa?o 4- Byo -h C*o 4- D = 0. (3)

Eliminons osa, yoj zq entre (2) et (3) ; on a

D2(u2+t?24-i/?2)^(Aw4.Br+(>)[(AtH-Bi?-+-Cio)(a2-+-62+c2)--2Dr] = 0, équation qui représente un paraboloïde de révolution.

2. Étant donnée une quadrique ayant pour centre le point 0, il y aura une infinité de tétraèdres conjugués par rapport à cette quadrique et en même temps circonscrits à une sphère dont le centre est un point arbitrairement choisi^ C; si R désigne le rayon de la sphère inscrite, si 1 est le point d'intersection du rayon vecteur OC avec le plan polaire du point G par rapport à la quadrique, on a la relation

j/J i^ J\ Cl

\ a2 "^ &a ■+■ c2 j — 01 ' 2a, 2&, 2c représentant les valeurs algébriques des axes de la surface du second ordre.

3. Si la quadrique donnée (énoncé précédent) est un paraboloïde, et 1 le centre de la section de la surface par le plan polaire du point C, on a la relation

ip et 2q étant les paramètres des sections principales.

4. Étant donnée une quadrique S ayant pour centre le point 0, si Von imagine une quadrique de révolution autour de Vaxe focal, ayant un de ses foyers au point et harmoniquement inscrite à S, la longueur de Vaxe non focal de la surface de révolution est constante,

La quadrique S ayant pour équation ponctuelle

la surface de révolution aura pour équation tangentielle

m2 -f- t?2 4- to2 4- hr(OLU -f- ^î? 4- yuj + r) = 0,

avec la condition

et Ton voit aisément que le carré de la demi-longueur de Taxe non focal est égal à -7- au signe près, car cette quantité est égale au produit des distances des foyers à un plan tangent quelconque.

5. On donne deux ellipsoïdes k et B, On demande le lieu des sommets des trièdres dont les faces sont tangentes à Vellipsotde A et parallèles à trois plans diamétraux conjugués de B.

[Concours général, 1860.)

6. On considère les quadriques de révolution hitang entes à une quadrique fixe Q et telles que l'un des deux foyers communs aux méridiennes soit fixe : lieu de Vautre, Lieu des sommets des cônes circonscrits à la fois à Q et à ces quadriques.

Soient F et F' les foyers d'une quadrique de révolution Q' bitangente à Q ; désignons par S et S' les sommets des cônes circonscrits à ces deux quadriques ; la quadrique Q, les deux couples de points F, F' et S, S' déterminent un réseau dont fait partie le cercle de Tinfîni. Il existera donc une quadrique homofocale à Q et faisant partie du faisceau tangentiel défini par les couples F, F' et S, S', c'est-à-dire passant par le quadrilatère gauche FSF'S'.

Il résulte de là que, si F est fixe, le lieu de F' est composé des trois quadriques homofocales à Q qui passent par F. Quant au lieu des sommets S et S', il est formé parles génératrices de ces surfaces qui passent par F, droites qui coïncident avec les focales du cône de sommet S circonscrit à Q.

COORDONNllKS. — I 23