A' = AS

on en conclut que A' :y£ ; par suite Téquation (2) représente une surface du deuxième degré qui ne peut être ni un cône, ni un cylindre. D'ailleurs le cône et le cylindre sont des

surfaces développables qui ne peuvent être représentées par une seule équation tangentielle.

En résumé, toute équation du deuxième degré

f{u, u, 10^ r) = au^ H- aV -h ••• =0

représente une quadrique (ellipsoïde, hyperboloïde, paraboloïde) si A i^ 0, et une conique si A = 0.

53. Réciproquement, si Ton donne Téquation ponctuelle d'une quadrique, qui ne soit pas un cône

^{x, y, s, t) = kx' + Xy 4- ••• = 0,

on obtiendra Téquation tangentielle par un calcul identique ; on aura

qui peut s'écrire, développée, en changeant le signe du premier membre,

a, a', a", . . . désignant les coefficients de A, A', A", . . . dans le développement du discriminant

11 résulte de là que a, a', a", . . . sont proportionnels à a, a', a\ , • . ; nous le démontrerons plus loin directement dès le début de l'étude des quadriques (voir numéro 116).

En résumé, pour déduire les équations tangentielle et ponctuelle d'une quadrique l'une de l'autre, il suffit de remplacer

72 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

dans Tune des équations les coefficients par les mineurs correspondants du discriminant et les coordonnées de plans par des coordonnées de points, ou inversement.

Mais il est essentiel d'observer que le discriminant du premier membre de Téquation dont on part doit être différent de zéro.

On remarquera l'identité absolue de ces résultats avec ceux de la géométrie plane (Première Partie, numéros 37 et 38).

54. On établira sans peine les résultats contenus dans le tableau qui suit :