ÉQUATIONS PONCTUELLES

ÉQUATIONS TANGENTIELLES

ax^ -+- aY -h a'z^ h- a"'t' =

ar« y' z' , ^ a* b^ c^

a^u^ -h bH^ -}- c^w^ — r^ =

ax^ -h aY + "Ihzt =

^H 2ar =

pv^ -h qw^ — ^ur =

ax"^ H- 6y"' -f- cz"^ 4- rfr =

mm mm

-.wt — 1 ^stn — 1 j/)*^ — ^ 7»*" — ^

1 ' 1 ' 1 " 1 — " ^m— 1 b^~^ C"*~* rf"*~*

On peut évidemment permuter les colonnes des tableaux précédents (sans permuter les titres) en échangeant les variables a?, j/, z, t et M, u, w, r.

55 . Point de contact d'un plan tangent. — Ëtant donnée une surface (ou une courbe) définie par son équation tangentielle,

désignons par w, v, w, r les coordonnées d'un plan tangent P

à cette surface ou à cette courbe, satisfaisant à la relation

Le point de contact de ce plan sera déterminé par les relations

/ u fv fw fr

établies au numéro 43 en nous appuyant sur la théorie des enveloppes.

Il en résulte que Téquation du point de contact sera

uA-HV/-;-hW/-;,-i-R/-; = o;

cette équation a, comme on le voit, la plus grande analogie avec l'équation du plan tangent en un point d'une surface définie par son équation ponctuelle.

56. Le raisonnement n'est plus applicable si les coordonnées du plan tangent annulent les quatre dérivées /*'„, /"V, f'^oy fr ; la détermination du point de contact présente alors plus de difficulté.

Nous nous laisserons guider dans ce qui va suivre par le problème corrélatif de la géométrie ponctuelle.'

Soit un plan tangent V[u, v, w^ r) ; prenons dans ce plan une droite quelconque D, définie par l'intersection du plan P et d'un autre plan P{u\ v\ w\ /), et considérons les plans tangents qu'on peut mener à la surface par la droite D.

Un plan quelconque passant par cette droite a pour coordonnées w-+-Xw', v-hXv', w-h^w'^ r-i-Xr'; il sera tangent à la surface si l'on a

f{u -h lu\ V -f- lv\ w 4- Iw', r 4- Xr') = 0,

ou, en développant par la formule de Taylor et en remarquant que le terme indépendant de X, f[u^ r, w, r), est nul,

-+- Y (^'A + «'A -^ ^'A + r^fr), 4- • • • - 0, (1)

en désignant selon l'usage par (u'fu-\-v'fr-+-w'f'u,-hr'f'r)^

Texpression obtenue en formant la puissance k de

et en y remplaçant le produit de k dérivées partielles du premier ordre par une dérivée partielle du A;« ordre.

Parmi les plans tangents issus de la droite D, il y en aura autant de confondus avec le plan P que Téquation (1) aura de racines nulles en X.

Supposons d'abord que /*«, /*'„, /*i«, fr ne soient pas nulles en même temps; alors, quelles que soient les valeurs de u\ v\ w\ /, l'équation n'admet qu'une seule racine nulle, et par toute droite du plan P, on ne peut mener à la surface qu'wn seul plan tangent confondu avec le plan P.

Nous dirons que dans ce cas le plan P est un plan tangent simple.

Mais il existe certaines positions du plan P', c est-à-dire de

la droite D, pour lesquelles l'équation (1) a plus d'une racine

nulle.

Si Ton a

u'fL -+- Vf, -\- w'f'r, + r'f'r = 0,

l'équation (1) a deux racines nulles.

Or cette condition exprime précisément que le plan P', c'està-dire la droite D, passe par le point de contact du plan tangent.

On peut donc dire que si les quatre dérivées partielles de la fonction /*(w, v, w, r) ne sont pas nulles en même temps pour les coordonnées d'un plan tangent P, par toute droite de ce plan on peut mener un seul plan tangent à la surface confondu avec le plan P ; il y a exception pour les droites qui passent par le point de contact : par ces droites on peut mener deux plans tangents au moins confondus avec le plan P.

Nous disons au moins, car il peut arriver que le coefficient de X- soit nul pour toutes les valeurs de u\ v'y io\ / qui annulent le coefficient de X.