Supposons maintenant que l'on ait

Dans ce cas, Téquation (1) admet deux racines nulles quelles que soient les valeurs de u\ v\ w\ r' ; donc par toute droite du plan P, on peut mener deux plans tangents confondus avec le plan P.

On dira alors que ce plan est un plan tangent double.

Il existe encore certaines positions du plan P', c'est-à-dire de la droite D, pour lesquelles l'équation (1) a trois racines nulles.

11 faut qu'on ait pour cela

cette condition exprime que le plan P' doit être tangent à une surface ayant pour équation tangentielle

ou

UY:»-i-vY:^H- wY^«-i-RY;»H-2UV/VH--- = o. (2)

A priori^ cette équation ne peut représenter qu'une courbe située dans le plan P.

En effet, si elle représentait une surface, par une droite quelconque du plan P, on pourrait mener un plan tangent P' à cette surface ; et alors par toute droite du plan P passeraient trois plans tangents confondus avec le plan P, ce qui est impossible d'après ce qui précède.

On peut d'ailleurs le voir directement, car on a, en désignant par m la classe de la surface,

{m — !)/•;, = wp -h vfl. -t- icfuw 4- rf'ûr = 0,

(m —!)/•; = uf'iu -+- 1^/^ + icfiu, -h //;; = 0,

[m—i)fL = uflu -^ Vf:,, H- wf;:^ -^ rfir = 0, (m —i)f'r = uf'ru 4- Vf:, -+- wf:^ + rf^J = ; on en déduit que le déterminant

lu / uv I uiv / ur

I VU i V I vw I ir

/ wu I v:v I w I wr

t TU t TV f rw I r^

76 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE

est nul. Mais ce détermiaant est le discriminant du premier membre de Téquation (2), donc cette équation représente une conique .

Cette conique est d'ailleurs située dans le plan P, puisque les coordonnées de ce plan annulent les quatre dérivées partielles du premier membre de l'équation (2).

On voit alors que pour que l'équation (1) ait trois racines nulles, il faut que la droite D soit tangente à la conique (2) du plan P.

En résumé, si les coordonnées d'un plan tangent P annulent les quatre dérivées partielles du premier membre de réquation de la surface, par toute droite du plan tangent on peut mener deux plans tangents confondus avec le plan P ; il y a exception pour toutes les droites tangentes h une certaine conique du plan P, par lesquelles on peut mener au moins trois plans tangents confondus avec le plan P.

58. Nous nous proposons d'établir que cette conique est située sur la surface et que le plan P touche la surface en tous les points de cette conique.

A cet effet, nous prendrons pour plan des xy le plan de la conique, et nous allons chercher quelle doit être la forme de l'équation de la surface pour que le plan des xy soit un plan tangent double.

Ordonnons l'équation par rapport à z^; ; on aura

les lettres © désignant des fonctions homogènes par rapport

à w, u, r et de degré indiqué par l'indice.

Considérons une droite située dans le plan des xy et ayant

pour équation

u'x-hv'y -hr^ = ;

par cette droite menons un plan quelconque

et écrivons qu'il est tangent à la surface ; on a

Pour que cette équation ait deux racines nulles quels que soient w', v\ w\ r'^ il faut que oq soit nul et que ^i{u\ u', /) soit identiquement nul.

Cette condition étant remplie, le plan des xy est plan tangent doublé ; et pour que par la droite choisie dans ce plan, on puisse mener trois plans tangents confondus avec le plan des xy, il faut qu'on ait

c'est-à-dire que la droite soit tangente à la conique qui a pour équation

L'équation de la surface pourra s'écrire, en y faisant w = i^

cp2(w, V, r) H- ©3(1*, v^ r)-\ =0.

Considérons un plan tangent infiniment voisin du plan des xj/, le, v, r étant infiniment petits et w toujours égal à i. Le point de contact de ce plan a pour équation

H-W[(m — 2)«)2 -4- (wi — 3)03 +•••] + R(?ir-i-9ar-f-- ••) = 0.

Posons M = Xr, v = {xr ; les équations précédentes deviennent après avoir divisé la première par r* et la deuxième par r,

^^{\ K, i) + ^?A {X, l)-h... =0, U(c?^, -h rcpk H- . . + ^^(?2^ -^ rcp'3^ + • • • ) H- W[(m — 2)rP2 -i- . . .

-i-R(?2v-+-r?JvH----) =0, V désignant une variable d'homogénéité, supposée égale à i .

On peut supposer que quand r tend vers zéro, X et [i ont des limites a et 6 assujetties seulement à la condition

cp2(a, 6, i) = 0. O

(*) Cette hypothèse peut s'expliquer aisément de la manière suivante. Les quantités u, v, r sont simplement assujetties à la condition ÇsCtt, V, r) -h 9,(m, Vjr)-\ = 0.

Considérons w, t?, r comme les coordonnées cartésiennes d'un point M ; ce point décrit une surface ayant pour équation Téquation qui précède et admettant un point conique à Torigine. Si w, t?, r tendent vers zéro, le

78 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

Dans ces conditions, le point de contact du plan tangent a pour limite un point qui a pour équation

Or ce point est précisément le point de contact de la conique

et de la tangente

ax-i- bij -\- i = 0,

Il résulte de là que cette conique appartient à la surface et que le plan des xy touche la surface en tous les points de la conique (*).

59. Il peut se faire que le discriminant de la fonction cpa(ie, V, r) soit nul, c'est-à-dire que la conique se réduise à deux points ; dans ce cas le plan tangent double touchera la surface en ces deux points .

60. On généralise aisément tous ces résultats. On dit qu'un plan P est un plan tangent multiple d'ordre p à une surface, lorsque par toute droite du plan on peut mener à la surface p plans tangents confondus avec le plan P.

Si cette condition est remplie, le plan P touche la surface suivant une courbe de degré p ; et par toutes les tangentes à cette courbe, on peut mener au moins jp H- 1 plans tangents confondus avec le plan P.

Pour qu'un plan tangent (w, v, w, r) à une surface ayant

pour équation

/'(w, v, iv^ r) =

soit multiple d'ordre p, il faut et il suffit que toutes les dérivées partielles d'ordre p — 1 de la fonction f{u, v, iv, r) soient nulles pour les coordonnées du plan (cette condition

point M se rapproche de Torigine, et on peut supposer qull décrive une

courbe tracée sur la surface, ayant pour tangente à l'origine une généra-

trice du cône des tangentes, ce qui revient à admettre que -7* et — ont

des limites a et 6 vérifiant la condition og^a, 6, 1) = 0.

(*) Cette démonstration m*a été communiquée par M. Appell.

entraîne la nullité de toutes les dérivées partielles d'ordre inférieur).

La courbe de contact a pour équation tangentielle