AppIicaiioD.. — Plans tangents multiples du tore
Cherchons d'abord réqualion tangentielle du tore engendré par un
cercle
(a; — af + 52 R-2 - 0, î/ = 0,
tournant autour de Taxe des z.
Un plan [u, v, w^ r) sera tangent à ce tore, si en faisant tourner ce plan autour de Oj, de manière à le rendre perpendiculaire au plan xOz^ le plan est tangent au cercle.
Dans la rotation le point de rencontre du plan avec Oz ne change pas ; Tabscisse du point de rencontre avec Ox après la rotation est égale^ au signe près, à la distance de Torigine à la trace du plan sur le plan des xy ; il en résulte que Téquation du plan est, après la rotation.
OU — wz + Xsju^ H- i?2 — r = .
Ce plan sera tangent au cercle si Ton a
asju^-^'c^. — r ^ j. ,
d'où Ton déduit
telle est Téquation tangentielle du tore.
Pour obtenir les coordonnées des plans tangents multiples, j'égale à zéro les dérivées partielles du premier ordre de la fonction
On a, en posant [0? — R2;(m2 4. x>^) R2^o2 4 ^2 r= P,
1 /-; = w[P(a' - R') - 2aV2] - 0, 1
4- ri = ^1P(«' - R') - 2aV2] = 0, -i- /•; = r[P — 2aMt«s + «S)] = .
80 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
On déduit de là les solutions suivantes :
ce qui donne
u = 0, v = 0, w=i\, r = zbR;
on obtient les deux plans
5 di R = 0.
Si Ton forme Téquation de la conique de contact
UYu2-t-VYÏ2 + ... =
relative au plan 2 — R = 0, on obtient Téquation
aHu^ -h v'-) — (loR -f- r)« = 0,
qui représente un cercle de rayon a ayant son centre sur Oj, car si on transporte Torigine uu point de Taxe des s qui a pour cote R, Téquation devient
Pour le plan 5: -h R = 0, on trouve
a^u^ -^ c2) (__ -M?R + rj2 = 0,
qui représente également un cercle.
Les deux plans j dr R = sont des plans tangents doubles qui touchent la surface suivant des cercles.
Les équations {{) admettent encore la solution
On en déduit
nous obtenons une infinité de plans passant par Torigine et tangents à un cône de révolution.
Deux de ces plans sont perpendiculaires au plan des jo?, les coordonnées de l'un d'eux sont
u=R, V = 0, w = — yja'' — R^ r = 0.
L'équation de la conique de contact peut s'écrire
[w(a2 — R2) H- wR>[Ur^Wf — a'r^ =1 ;
elle se réduit à deux points situés dans le plan des zx et symétriques par rapport à l'origine.
Ces deux points sont les points de contact d'une tangente commune intérieure aux deux cercles qui constituent l'intersection du tore par le plan des zx»
On sait d'ailleurs que le plan tangent double considéré coupe le tore suivant deux cercles ; les points de rencontre de ces deux cercles sont les points de contact.
EXERCICES ET NOTES
1. Pour obtenir Téquation tangentielle de Tenveloppe d'un plan, on peut, dans un grand nombre de cas, se donner les coordonnées tiy V, 10, r du plan et écrire les conditions auxquelles est assujetti ce plan. On obtient une relation entre ces coordonnées qui est l'équation cherchée ; quelquefois on peut avoir à éliminer certains paramètres avant d'obtenir Téquation de l'enveloppe.
2. D^un point'M d'une surface on abaisse des perpendiculaires sur les plans de coordonnées supposés rectangulaires; trouver V enveloppe du plan qui passe par les pieds de ces perpendiculaires.
Soit ux -t- vy -h wz -}- r =
Téquation du plan dont on cherche l'enveloppe ; ce plan coupe les plans de coordonnées suivant trois droites ; nous menons par ces trois droites des plans perpendiculaires aux plans de coordonnées correspondants, ces plans ont pour équations
ry + te j H- r = 0,
ux -{- wz -\- r =z 0,
wa? -h i?t/ -h r = 0,
et il suffit d'écrire que le point de rencontre de ces trois plans est sur la surface donnée.
Ce point a pour coordonnées — ^r— » :— » — -^r- ; en écri-
^ ^ '^u 'Zv 2w
vant qu'il est sur la surface
on a l'équation tangentielle de Tenveloppe cherchée,
Si la surface donnée est un ellipsoïde
l'équation de l'enveloppe est
r^ r^ lL i—
82 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE OU
Son équation ponctuelle est alors (54)
3. On joint un point M quelconque (Tune surface à un point fixe ; par le point M on mène un plan perpendiculaire à MO ; trouver Venveloppe de ce plan,
4. On donne un plan P et un point A ; par le point A on mène un plan quelconque Q ; on demande Venveloppe des plans bissecteurs des plans P <?« Q .
Soit itjj + «y -f- to-î -H r = (I)
Téquation d'un des plans dont on cherche Tenveloppe. Par l'intersection de ce plan et du plan P on mène un plan passant par le point A, et il suffit d'écrire que le plan ainsi obtenu est symétrique du plan P par rapport au plan représenté par l'équation (1).
5. Surface de Fonde. -— La surface de l'onde étudiée en optique par Fresnel peut se définir géométriquement de la manière suivante :
aSî, par le centre d^un ellipsoïde, on élève une perpendiculaire à chaque plan diamétral, et qu'on porte sur cette perpendiculaire, à partir du centre^ des longueurs égales aux demi-axes de la section diamétrale considérée^ le lieu des extrémités de ces longueurs est la surface de Vonde,
Soit ^ + ^ + ^-1 =
l'équation de l'ellipsoïde ; on sait que les demi-axes de la section de cet ellipsoïde par le plan diamétral
sont racines de Téquation
a2 65^ va
On en conclut que l'équation ponctuelle de la surface de Tonde
est
où Ton suppose p^ =z x^ -h y^ -h 2^ »
Pour obtenir Téquation tangentielle de cette surface, nous nous appuierons sur le théorème suivant :
Si dexix ellipsoïdes concentriques sont polaires réciproques par rapport à une sphère de même centre, les surfaces de fonde correspondantes sont polaires réciproques par rapport à la même sphère (*).
La polaire réciproque de Tellipsoïde E par rapport à la sphère
a pour équation
«2x2 H- &2y2 -t- C232 — R* rz 0,
et la surface de l'onde relative à cet ellipsoïde a pour équation ponctuelle
Cherchons l'équation tangentielle de la polaire réciproque de cette surface par rapport à la sphère.
Un plan ttx -i- vy -\- wz -]- r z=
sera tangent à cette polaire réciproque si le pôle de ce plan par rapport à la sphère est situé sur la surface (S').
Le pôle du plan a pour coordonnées , » ;
on aura donc, en posant h- =: ic^ h- «2 -f- io2,
u^ t;2 io2
"* h^ ^ h^ ^ h^ ou
tf2 u2 ^2
c'est l'équation tangentielle de la surface S.
En chassant les dénominateurs, l'équation ponctuelle s'écrit, après suppression du facteur x^-^-y^-^ z^^
(*) Voir pour la démonstration de ce théorème, le Traité de Géométrie de MM. RoDCHÉ et DE CoMBEROussE, OÙ Ton trouvera une étude géométrique très simple de la surfaoe de Tonde.
- [aW 4- c^)x^ -f- h\d^ -f- a^)y^ + c2(a2 -}- 6^)52] -4- a^ô^câ = q,
et réquation langentielle, après suppression du facteur u^-\-v^-\-w^, devient
On voit ainsi que la surface de Tonde est du quatrième degré et de la quatrième classe.
Nous nous proposons d'étudier les plans tangents multiples de cette surface.
Les coordonnées de ces plans doivent vérifier les équations
^fw= w[b^c^u^-hc^aH^ + à^b^w^ + a^b^{u^-^v^-\-iD^)—r%a^-{-b^)] = 0,
On voit tout de suite qu'on ne peut avoir r = 0, car on en conclurait u = v =z w =z 0, De la dernière équation nous tirons
fô2 ^ ^2)^2 + (r2 -t- «2)^2 ^ (a^^b^)w'r'= 2 ; (1)
et en remplaçant dans les trois premières^ divisant la première par 62 — c2, la seconde par c^ — a* et la troisième par a^ — b^, on a
U[{b^ — C2)W2 — (c2 «2)132 («2 - b^)lO^] = 0,
^[ — (^^ — c^)w^ + (c^ — «2^)^^ — (û* — ^^)^'] = 0, ^[ — (^^ — c2)w2 — (c2 — a2)r2 + (a^ — b^)io^] = 0.
Les trois quantités entre crochets ne peuvent être nulles que pour u =1 V z= w = 0; on en conclut que l'une des inconnues u,v,w doit être nulle.
Supposons u = 0\ on en déduit
(C2 — a2)t?2 {ai — 62)^^2 . 0,
qui ne nous donne pour v et w que des valeurs imaginaires. Il en est de même si l'on suppose w = 0; on a
Il nous reste donc à supposer
1^ = 0; on a
(^2 c2)^2 « (a^ __ J2jiç2 , 0,
nous pouvons prendre
tt2 = a» — &-2,
et on en conclut, à l'aide de la relation (1),
Nous obtenons quatre plans tangents doubles réels, dont les équations sont
x^a^ — &2 -t 2^&2 c2 dr &/a2 — c2 = ;
ils sont perpendiculaires au plan des zx, et on peut reconnaître que leurs traces sur ce plan sont les tangentes communes au cercle
a?2 ^ 52 ^2 et à Tellipse
Considérons Tun d'eux,
x^a^ - b^ -h - v/*^ — c^ -\- bf/a^ — c^ = 0,
et proposons-nous de chercher la conique suivant laquelle ce plan touche la surface.
L'équation de cette conique sera
U2^^, ^ Y2f'^, ^ vVY'i-'* H- R Yr* + 2UV/'L -*- 2UW/-i«;
-h 2UR/'ir 4- 2VW/-ÎZC + 2VR/-;. -*- âWR/'î^r = 0, où Ton fait
u = v/«2 — b^, v = 0, w = v/^2 c2, r = 6^a2 ^2^ On obtient ainsi Téquation
