a2 — c2)R2 ^ 4ô2(a2 ^ c2)^a2 ■— 62^^2 c2[JW
— 4&(&2+c2)^a2 — c^v^a^— Ô^UR— 46(a24-&2)^S2n72^ô2 c2)^[^ — 0,
qu'on peut encore écrire
[2b^a^—c^R — (&2 4- c^a^ — b-'V — {a^ -h ô^jv/ô^ — c^W^ - ;&2 c2)(rt2 &2)[^/52ir^u — v/a^— ^^'W]^
Sous cette forme on reconnaîtra aisément l'équation d'un cerclç en se reportant au chapitre V.
86 COORDONNÉES TANGENTIELLES. —GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE
6. Surfaces podaires. — Étant donnée une surface S et un point 0, on appelle surface podaire de cette surface par rapport au point le lieu des projections du point sur les plans tangents à la surface S.
Étant donnée Téquation tangentielle de la surface S, on aura aisément Téquation ponctuelle de la surface podaire.
Démontrer que la normale en un point de la surface podaire passe par le milieu de la droite qui joint le point au point de contact du plan tangent correspondant de la surface S.
7. Surfaces parallèles. — Étant donnée une surface S, en un point A de cette surface on mène la normale sur laquelle on prend de part et d'autre des longueurs AM et AM' égales à une longueur donnée. Le lieu des points M et M' est une surface qu'on appelle surface parallèle relative à la surface S.
Démontrer que le plan tangent en M à la surface parallèle est parallèle au plan tangent en A à la surface S ; déduire Véquation tangentielle de la surface parallèle de Véquation tangentielle de la surface S.
8. Trouver V enveloppe des plans coupant trois droites données en trois points qui soient les sommets d'un triangle isocèle ou rectangle.
9. Trouver Véquation tangentielle du cercle intersection de la sphère
et du plan
ax -^ by -\- cz -\- d •=: 0.
10. Trouver Véquation tangentielle de la parabole section du cylindre
î/2 2px = et du plan
ax -\- by-^cz-\- d =: 0.
11. Nous avons étudié le complexe linéaire aux numéros 26, 2.7 et dans la note 17 à la fin du chapitre 1.
Supposons que Ton ait une relation homogène et de degré p entre les coordonnées pluckériennes d'une droite
?[«, P, Y, ^ '^h n) = 0; cette équation représente un complexe du p^ ordre. 11 est aisé de voir que les droites de ce complexe qui passent par
un point donné 9{œ', y\ z\ t') forment un cône du p» degré ayant pour sommet ce point.
Menons, en effet, par le point P une droite quelconque sur laquelle nous prenons un point arbitraire M{x, y, z, t); pour que cette droite appartienne au complexe, on doit avoir
ff{xt'^tx', yt'—ty', zt'^tz', yz'—zy', zx'—œz', xy'—yx'} z=zO,
équation qui représente un cône du p» degré et de sommet P ; ce cône est appelé le cône du complexe.
De même, les droites du complexe qui sont situées dans un plan Q{u', v', w', r') enveloppent une courbe de p« classe.
En effet, un plan quelconque R(m, v, Wj r) coupe le plan Q suivant une droite A dont les coordonnées sont
a = vw' — wv', l -= ur' — ru',
P = wu — uw' , m z= vr' — rv',
Y = uv' — vu'j n = wr' — rw\
Pour que celte droite appartienne au complexe, il faut qu'on ait
^[vvd'—wv\ wu'—hw\ uv'^vh', tir'— rit', vr'—rv', wr'—rvo']=0.
Cette équation est l'équation tangentielle d'une courbe de p» classe située dans le plan Q et qui est l'enveloppe des droites A. Cette courbe est appelée la courbe du complexe.
