CHAPITRE III SURFACES DËVELOPPABLES ET PRINCIPE DE DUALITÉ
62. Nous avons appelé surface développable une surface qui a deux équations tangentielles, c'est-à-dire dont les coordonnées des plans tangents satisfont à deux équations, ou sont fonctions d'un seul paramètre indépendant (46).
Nous avons vu également que ces surfaces sont réglées et que le plan tangent est le même en tous les points d'une génératrice.
Il est clair que, réciproquement, si une surface réglée est telle que le plan tangent soit le même en tous les points d'une génératrice quelconque, le plan tangent ne dépendra que d'un seul paramètre, et la surface sera développable.
Considérons une surface réglée engendrée par la droite
a, 6, p, q étant fonctions d'un paramètre w, et proposonsnous de trouver la condition pour que cette droite engendre une surface développable.
Donnons au paramètre w une valeur particulière, désignons par G la génératrice correspondante, prenons sur cette génératrice un point arbitraire M de cote z, et cherchons l'équation du plan tangent au point M.
Nous remarquerons pour cela que les coordonnées d'un
SURFACES DÉVELOPPABLES
point quelconque de la surface peuvent être considérées comme fonctions de deux paramètres w et z ; on a
X = az-h p, Y = bz-hq,
le plan tangent en un point (ar, t/, z) de cette surface a, comme on sait, pour équation
dx dta
dx
ce qui donne ici
X — ar
Él dz
dz
dz
les accents désignant des différentiations par rapport à a>.
Ajoutons aux éléments de la première colonne ceux de la troisième multipliés par — a, puis aux éléments de la deuxième colonne ajoutons ceux de la troisième multipliés par — h \ on obtient, en observant que az-\-p = x et bz-hq = y,
X — aZ—p Y — bZ—q Z — z
a'z-hp' b'z-^q' =0
ou
(X — aZ —p)[b'z -\- q') — (Y — ÔZ — q)[a'z -\-p') = 0.
On voit ainsi que le plan tangent contient la génératrice G, et qu'en général le plan tangent tourne autour de cette droite quand z varie, c'est-à-dire quand le point M décrit la génératrice.
Pour que la surface soit développable, il faut que ce plan
90 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
tangent reste fixe quand le point M décrit la génératrice, c'est-à-dire que la fraction
b'z -^ q' soit indépendante de z ; on doit donc avoir
ou
c'est la condition nécessaire et suffisante pour que la surface réglée soitdéveloppable.
On voit d'ailleurs que si cette condition est remplie, Téqua. tion du plan tangent ne contient que le paramètre w.
63. Exemples. — Il est aisé de voir que le cône et le cylindre sont des surfaces développables ; en effet, si la droite engendre un cylindre, a et b sont des constantes, a' et b' sont nuls et la condition (1) est vérifiée.
Si la droite engendre un cône, elle passe par un point fixe {xo, j/o, Zo) ; on a donc
Xo = azo+p^
tjo = bzo-hq ; on en déduit, en différentiant par rapport à w,
= a'zo-hp\
= b'zo -h q\ et en éliminant Zo on trouve la condition (i).
64. Les surfaces développables jouissent encore d'une propriété fort importante, comme le montre le théorème suivant:
Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface réglée soit déveloj^pable est que la génératrice soit, dans toutes ses positions, tangente à une courbe fixe.
i^ La condition est nécessaire. — Soit une droite G engen-
SURFACES DÉVELOPPABLES 91
drant une surface développable
X = aZ + w, )
a, b^ /?, q étant fonctions du paramètre <*>, et vérifiant la
relation
Je vais montrer que cette droite est tangente à une courbe fixe.
A chaque génératrice G je fais correspondre un point M situé sur la génératrice ; il suffit pour cela de considérer la cote z du point M comme une fonction de w, o(to).
Le lieu des points M est alors une courbe ; nous allons montrer qu'on peut déterminer la fonction ©(oi) en sorte que la génératrice G soit tangente à celte courbe au point correspondant M.
Les coordonnées du point M sont
X = a3-+-p, Xz=bz-^-q,
où l'on suppose z = çp(w).
Nous allons écrire que les paramètres directeurs de la tangente à la courbe lieu de M sont proportionnels à a, 6, 4 .
On a
a!z -hp' -h az' Vz h- ç' -h bz' __ z'
ou
Ces deux relations ne définissent qu'une seule valeur de z,
puisque l'on a a'q' — b'p' = 0.
On voit ainsi que la génératrice touche la courbe fixe en un
point qui a pour cote — -^ ou — -^ .
2** La condition est suffisante, — La tangente en un point (x, y^ z) d'une courbe a pour équations
92 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Y-y = y'{Z-z) OU
A. — - X Là ~T~ X -^~' X Z^
les accents désignant des différentiations par rapport à :s, on voit alors immédiatement que Ton a
^ [x — afz)'
ce qui prouve que la tangente enveloppe une surface développable. Le théorème est démontré.
Cherchons le plan tangent à la surface en tous les points d'une tangente. Nous supposerons pour cela que les coordonnées d'un point quelconque de la courbe sont fonctions d'un paramètre w.
Les équations d'une tangente sont
Quand w varie, cette tangente engendre une surface réglée, et le plan tangent en un point de cette surface a pour équation
x' + x"p y' -h y"p z'-hz'p =0;
on le voit en considérant un point de la surface comme fonction des deux paramètres w et f.
Cette équation peut s'écrire
x' xj z' = ;
elle représente l'équation du plan osculateur à la courbe au
SURFACES DÉVELOPPABLES 93
point de contact de la tangente sur laquelle on a choisi le point de la surface.
On reconnaît ainsi de nouveau que le plan tangent est indépendant de p, c'est-à-dire qu'il est le même en tous les points de la génératrice, ce qui prouve que la surface est développable .
65. La courbe à laquelle sont tangentes les génératrices d'une surface développable s'appelle Varêie de rebroussement de la surface.
La raison de cette dénomination consiste en ce fait que toute section plane de la surface présente un point de rebroussement au point de rencontre deTarête de rebroussement et du plan.
Pour le démontrer, prenons ce point pour origine, pour axe Oz la tangente à la courbe en ce point, et pour plan des xy le plan sécant.
Nous supposerons que les coordonnées x et y d'un point de la courbe sont fonctions de z ; alors, puisque Oz est la
tangente à l'origine, -r ^^ ^ sont nulles pour z = 0. dz dz
La tangente en un point quelconque de la courbe a pour
équations
dx
en coupant par le plan Z = 0, on a les coordonnées d'un point quelconque de la section en fonction de z :
dx
dz
^ -J " dz
Les paramètres directeurs de la tangente en un point de
cette section sont
riX d'x
dY
dz
'dz' '
ces deux quantités sont nulles pour 5 = 0, ce qui montre que Torigine est un point de rebroussement de la section par le plan des xy.
D'après ce qui a été dit plus haut, les plans osculateurs de Taréte de rebroussement sont tangents à la surface.
66. Si la surface développable est définie par deux équations
tangentielles,
nous avons vu au numéro 45 que son équation ponctuelle
s'obtenait en éliminant w, v, il\ r entre les équations (2) et
les suivantes :
ux-\-vy -h wz -f- H = 0, (3)
Or, l'équation (4) a été obtenue en supposant r constant ; on pourrait faire la même hypothèse pour l'une quelconque des variables ; on aurait ainsi l'équation
lu 1 V 1 IV
qui exprime que tous les déterminants à neuf éléments tirés du tableau qui figure dans le premier membre sont nuls ; cela ne donne, en réalité, que deux conditions, et ces conditions entraînent la condition (3).
On peut donc dire que Téquation ponctuelle de la surface est obtenue en éliminant m, u, w^ r entre les équations (2) et (5).
Les deux équations (5) sont alors les équations de la génératrice suivant laquelle le plan (w, u, w^ r) touche la surface ;
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cette droite joint les deux points qui ont pour coordonnées homogènes f'^, fv, f'w, f'r et cp'^, cpi, ^'^, ^l, c'est-à-dire les points de contact du plan avec les deux surfaces représentées par les équations (2).
Ainsi, quand une surface développable est définie par les plans tangents communs à deux surfaces, les génératrices de cette développable sont les droites qui joignent les points de contact sur les deux surfaces de chaque plan tangent commun.
On dit que cette surface développable est la développable commune aux deux surfaces représentées par les équations (2) ; et, d'après ce qui précède, cette développable est circonscrite aux deux surfaces ; elle touche chaque surface suivant une courbe, lieu géométrique sur cette surface des points de contact des plans tangents communs.
Il peut arriver que Tune des équations (2) représente une courbe, il peut même se faire que toutes deux représentent des courbes ; on dit alors que la développable est commune à une surface et à une courbe, ou à deux courbes.
Il résulte, des considérations précédentes que si un plan (m, t\ w, r) est tangent à la développable définie parles équations (2), la génératrice de contact est représentée par les équations
UcpL -h Vo; -i- ^No'^ H- R?; = 0.
67. Classe d'une surface développable. — On appelle classe d'une surface développable le nombre de plans tangents qu'on peut lui mener par un point arbitraire de l'espace.
Si la surface est définie analytiquement par deux équations tangentielles, algébriques et entières, la classe de la surface est égale au produit des degrés de ses deux équations.
En effet, les plans tangents menés à la surface par un point (^0» yo> ^o) seront déterminés par les équations
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uxo -h vyo -\- wzo -H 7' = ;
le nombre des solutions est égal au produit des degrés des fonctions /* et cp.
68. Étant donnée une surface, il existe une infinité de surfaces développables qui lui sont circonscrites ; on peut, en effet, imaginer une ligne quelconque tracée sur la surface et l'ensemble des plans tangents à la surface en tous les points de la ligne ; ces plans tangents enveloppent une surface développable (car ils ne dépendent que d'un seul paramètre), qui est circonscrite à la surface donnée en tous les points de la ligne, car la caractéristique de chaque plan tangent passe par le point de contact.
D'ailleurs, ces développables peuvent être définies analytiquement en adjoignant à l'équation tangentielle de la surface donnée une seconde équation choisie arbitrairement.
Comme exemple, considérons une surface S,
et un plan P(mo, Vo, «^o, ^o); imaginons la développable circonscrite à la surface S en tous les points de la section par le plan P.
Un plan tangent à la surface S sera tangent à la développable si son point de contact est dans le plan F, c'est-à-dire si l'on a
Il en résulte que la développable circonscrite cherchée est définie par les équations
t^ofu -f- vofv -H Wof^ -H rof'r = ; elle est de classe m{7n — 1) si la surface est de classe m.
Si le plan P est le plan de l'infini, la surface développable circonscrite à la surface S est ce qu'on appelle la développable asymptote ; elle est définie par les deux équations
SURFACES DÉVELOPPABLES 97
fr =0.
Nous reviendrons sur ces notions dans la suite.
