Si le sommet est à l'origine, ses équations deviennent
en faisant r = dans la première équation, elle se transforme en une équation homogène en w, v^ w^
0{Uy V, iv) = 0,
qui représente une courbe à l'infini, trace du cône sur le plan de rinfini.
On aura Téquation ponctuelle de ce cône en appliquant la méthode générale indiquée plus haut (66), c'est-à-dire en cherchant le lieu engendré par les génératrices.
On éliminera pour cela w, v, w entre les équations
I u f V fxv
ux-hvy -^ ivz = 0.
On remarquera que les calculs sont les mêmes que si l'on voulait obtenir, en géométrie plane, l'équation ponctuelle d'une courbe dont on aurait l'équation tangentielle (voir Première Partie, n'» 31).
Ainsi, étant donné le cône de seconde classe défini par les équations
au^
• a"w^ -h "^bvw H- "^b'wu -h ^b"nv = 0,
son équation ponctuelle est
ou
{^a'a!' — b')x' -+- {a"a — b")if -h (aa^ — b"'y + %b'b" — ab)xjz
+ 2{b"b — a'b')zx -h %bb' — a!'b")xy = 0.
Réciproquement, étant donnée l'équation ponctuelle d'un
SURFACES DÉVELOPPABLES 99
cône ayant pour sommet T origine,
f{x> 2/, 2) = 0, la condition pour qu'un plan soit tangent à ce cône, s'obtient en éliminant a?, t/, z entre les équations
UX -^V]J'\-WZ = 0,
et enjoignant au résultat de l'élimination la condition
Les équations tangentielles du cône
sont
Il y a, comme on le voit, la plus grande analogie entre la théorie des coniques et celle des cônes du deuxième degré.
