III. Soit un cône ayant pour équation
Aa?2 -h By^ -h Cz^ =: ;
cherchons à quelles relations doivent satisfaire les coefficients de Téquation du plan
ux -h vy -\- wz -+- r =
pour que ce plan soit tangent au cône.
Il faut d'abord que ce plan passe par l'origine, c'est-à-dire
qu'on ait
en outre le plan doit rencontrer le cône suivant deux génératrices confondues. Or les projections de ces génératrices sur le plan des xy sont déterminées par l'équation
w^{kx^ -h Bî/2) -+- C{ux + vyY = 0,
et pour que cette équation ait une racine double, on doit avoir
Les relations (1) et (2) expriment analytiquement la condition géométrique imposée.
2. On peut remarquer que les relations obtenues sont homogènes par rapport à u, v, iv^ r. Nous allons démontrer qu'il en est toujours ainsi, c'est-à-dire que toute relation qui est la traduction analytique d'une condition géométrique, est nécessairement homogène en u^ v^ w^r.
En effet, le plan ne change pas si on remplace dans son équation w, i?, ^^, r respectivement par \u, Iv, \iv, Xr, X désignant un nombre quelconque ; par conséquent, comme la droite satisfait à la condition géométrique quelle que soit la
forme sous laquelle on écrit son équation , toute solution M, u, w^ r de la relation correspondante entraîne la solution >M, Xt?, Iw, Àr, quel que soit X ; la relation considérée est donc homogène.
3. Un plan sera donc bien déterminé analytiquement par trois relations homogènes entre ses coefficients. Si ces relations sont algébriques, entières, de degrés m, n et p respectivement, le nombre des solutions sera mnp, d'après le théorème de Bezout.
4. Si maintenant on donne une seule relation , toujours homogène en u, v, w^ r,
il y aura une infinité de plans dont les coefficients vérifieront l'équation (3) ; nous démontrerons plus tard qu'en général tous ces plans sont tangents à une même surface.
On dira que l'équation (3) est l'équation tangentielle de la surface, et pour éviter toute confusion, la relation à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'un point pour que ce point soit sur la surface sera appelée l'équation ponctuelle de la surface.
Il existera aussi une infinité de plans dont les coefficients vérifieront deux équations en m, v, w, r ; nous établirons que tous ces plans enveloppent en général une surface d'une nature particulière, et les équations données seront dites les équations tangentielles de cette surface.
Nous dirons également que les coefficients w, v, w^ r de l'équation d'un plan sont les coordonnées tangentielles de ce plan, tandis que les coordonnées d'un point seront appelées coordonnées ponctuelles.
Ainsi le plan qui a pour équation ponctuelle 3.r — 2i/ H- z — 4 = a pour coordonnées tangentielles 3, — 2, i, — 4; le plan des xy a pour coordonnées 0,0, 1,0; celui des za:, 0,1,0,0; le plan de l'infini, 0, 0, 0, 1.
8 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Nous remarquerons aussi qu'étant donné un plan, ses coordonnées tangentielles sont déterminées à un facteur constant près.
Nous allons maintenant interpréter géométriquement la relation linéaire et homogène entre m, u, w^ r.
5. Équation du point. — Théorème. — Toute équation hvmogène et du premier degré par rapport a u^ v^ w^ r représente un jfoint.
Soit l'équation
au + bv-^cw-^dr = 0. (4)
On voit immédiatement que tous les plans dont les coordonnées vérifient cette équation passent par le point qui a pour coordonnées homogènes a, ô, c, d.
Cette équation est dite Véquation tangentielle du point.
Réciproquement, tout point peut être représenté par une équation du premier degré ; autrement dit, en écrivant qu'un plan passe par un point, on a une relation homogène et du premier degré entre les coordonnées tangentielles du plan.
On peut donc dire que :
L'équation tangentielle d'un point est la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'un plan pour que ce plan passe par le point.
De même que :
L'équation ponctuelle d'un plan est la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'un point pour que ce point soit dans le plan.
Exemples. — L'origine des coordonnées a pour équation
un point sur l'axe Oar, ayant pour abscisse a, sera représenté
par l'équation
ua-\-r = 0.
