c'vr 4- 2c"wr -+- dr
Soit (a, ^, y) un point du lieu ; le cône circonscrit ayant pour sommet ce point a pour équations
f{u, V, w, r) = 0, Ma -h tJ^ + loy 4- î' = 0.
En éliminant w entre ces deux équations, on aura Téquation tangentielle de la section de ce cône par le plan des xy ; on obtient
-/ wa-f-u|i-hr \ ru, t?, ^7^- » r\z=0.
On aura le lieu en exprimant que cette conique a pour foyer l'origine, et il suffit pour cela d'écrire (voir Première Partie, n° 147) que le coefficient de u^ est égal au coefficient de v^ et que le coefficient de uv est nul.
On obtient sans difficulté les équations suivantes :
a"(a2 — p2) 26'aY 4- 26^y 4- (a — a^ = o, a'^a^ - ba^ — b'<^y 4- b'y = 0, de telle sorte que les équations du lieu sont
ar{x^ — î/2) 2h'xz -4- 2hyz -f- (a — a')z^ = 0, a"xy — hxz — h'yz + Vz^ = 0.
Ces deux équations représentent deux cônes du deuxième degré ayant pour sommet l'origine ; il en résulte que le lieu se compose de quatre droites passant par le point A.
Deux de ces droites seulement sont réelles; car si on coupe les cônes par le plan z = /i, on obtient deux hyperboles équilatères concentriques et telles que les asymptotes de l'une soient bissectrices des asymptotes de lautre, et ces deux courbes n*ont que deux points réels communs.
74. Principe de dualité. — De même qu'en géométrie plane, on aperçoit toute Tanalogie qui existe entre les formules relatives aux coordonnées tangentielles et celles de la géométrie ponctuelle. On peut répéter presque textuellement ce que nous avons dit au numéro 50 de la Première Partie de cet ouvrage.
Imaginons une propriété quelconque relative à une figure de Tespace composée de points, de droites, de plans, de lignes et de surfaces quelconques ; cette propriété s'exprime par une ou plusieurs relations entre des coordonnées de points (a?, î/, s, t) et des coordonnées de plans (w, y, ti\ r). • Changeons la signification de ces quantités dans les mêmes relations, c'est-à-dire supposons que les lettres a?, y, z, t représentent des coordonnées de plans, et que les lettres w, v, w, r représentent des coordonnées de points ; aux équations ainsi modifiées correspondra une nouvelle propriété qui se rapportera à une autre figure, et l'on dira que cette propriété est corrélative de la première.
Cette simple remarque nous permet de doubler chaque théorème de géométrie de l'espace, et le principe qui permet ce dédoublement, est ce qu'on appelle le principe de dualité.
75. Il est évident que la première propriété se déduit de la seconde par le même procédé, c'est pour cette raison que l'on dit que les deux propriétés sont corrélatives, ainsi que les deux figures auxquelles se rapportent ces propriétés.
102 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
D'après cela^ à un point ayant pour coordonnées a, b, c, d
appartenant à Tune des figures correspond dans l'autre figure
un plan qui a pour coordonnées a^b, c, d, c'est-à-dire dont
l'équation est
ax+by-^ cz-\-dt = 0.
Théorème. — A des points situés dans un plan correspondent des plans passant par un même point.
Considérons en effet l'équation
ux -h vy -^ wz -{- rt =
qui exprime que le point (x, t/, z, f) est dans le plan (u, v, w, r).
Si l'on suppose que u, u, iv^ r restent fixes et qu'on fasse varier x, y, s, t d'une manière quelconque, on aura une infinité de points situés dans un plan.
Changeons la signification de ces coordonnées ; l'équation qui précède exprimera que tous les plans qui ont pour coordonnées Xf t/, z, t passent par le point fixe (w, v, tv, r).
On voit [en même temps que le plan dans lequel sont les points correspond au point par lequel passent les plans correspondants.
Théorème. — A des points situés en ligne droite correspond dent des j)lans passant par une droite.
Soient deux points A(x, y, z, i) et M[x\ y\ z', t') ; tout point de la droite AA' a pour coordonnées x -+- Xa:', y -f- Xy', z -+- Xz' et t-h If.
Changeons la signification des coordonnées; aux deux points A et A' correspondent des plans P et P', et tout plan dont les coordonnées sont x + Xar', y -h X?/', z-hlz' et /h- X^ passe par l'intersection de P et de F.
Le théorème est démontré.
D'après ce théorème nous pourrons dire qu'à une droite correspond une droite, mais il faut entendre par là qu'à tous les points de l'une correspondent tous les plans qui passent par l'autre.
A un point quelconque de l'une des droites correspond un
plan et un seul passant par l'autre; il y a donc entre les points de la première droite et les plans de la deuxième une relation homographique ; par suite quatre points quelconques de la première droite ont un rapport anharmonique égal à celui des quatre plans correspondants qui passent par la seconde.
76. Au plan de Tinfini correspond Torigine des coordonnées ; à une droite située dans le plan de Tinfini correspond une droite passant par l'origine, etc.
Il en résulte qu'à des plans parallèles correspondent des points en ligne droite avec l'origine ; à des droites parallèles correspondent des droites situées dans un même plan avec l'origine, etc.
77. On peut enfin remarquer qu'un point et un plan correspondants sont pôle et plan polaire par rapport à la quadrique
car le plan polaire d'un point (x, t/, z, t) par rapport à cette quadrique a pour équation
Xa? -f- \ij H- Zs -h T< = 0,
et par conséquent les coordonnées de ce plan sont égales aux coordonnées de son pôle.
Si les axes de coordonnées sont rectangulaires, cette quadrique est une sphère imaginaire dont le carré du rayon est égal à — i ; le plan polaire d'un point A est perpendiculaire à la droite OA, il rencontre cette droite en un point B situé par rapport au point du côté opposé au point A, et le produit des longueurs OA et OB est égal à i.
Il en résulte que si deux plans font un certain angle, les deuîf points correspondants sont vus de l'origine sous un angle égal ou supplémentaire.
Les considérations qui précèdent nous permettent de transformer les propriétés des figures rectilignes, composées uniquement de points, de droites et de plans.
78. Exercice. — Proposons-nous de transformer la propriété bien connue qui suit :
Bans tout trièdre les plans passant par chaque arête et perpendiculaires à la face opposée passent par une même droite.
Aux trois faces Pi, P2, P3 du trièdre correspondent trois points Al, A2, As; aux arêtes du trièdre correspondent les trois côtés du triangle A1A2A3.
A un plan quelconque P pussantparTarète^ intersection de P2 et Ps, correspond un point A siluésur le côté A2A8. Si le plan P est perpendiculaire au plan Pi, les droites joignant l'origine des coordonnées aux points A et Ai seront perpendiculaires ; il en résulte que le point A sera à l'intersection du côté A2A8 et du plan mené par le point perpendiculairement à OAi.
Les trois points analogues au point A seront en ligne droite et on pourra énoncer le théorème suivant :
Etant donnés un triangle et un point dans Vespace, si Von considère les trois points obtenus en prenant V intersection de chaque côté du triangle avec le plan passant par le point et perpendiculaire à la droite joignant le point au sommet opposé du triangle^ ces trois points sont en ligne droite.
79. Étant donnée maintenant une surface appartenant à la première figure et ayant pour équation ponctuelle
il lui correspond dans la seconde figure une autre surface ayant pour équation tangentielle
/*(«, V, îv, r) = 0. (S)
Aux points de la surface S correspondent les plans tangents de la surface S.
Le degré d'une surface est égal à la classe de la surface correspondante.
Il y a réciprocité^ c'est-à-dire qu'aux plans tangents de la surface S doivent correspondre les points de la surface S.
En effet, le plan tangent en un point A(a?, y, z, t) de la surface S a pour équation
XA + Y/';, + Z/-l-+-T/"; = 0;
à ce plan correspond le point qui a pour équation tangentielle
en supposant w = a?, v = y^ w = z^ r = t.
Or ce point est le point de contact du plan tangent (m, v, w, r) à la surface S.
80. Cas particulier. — Supposons que la surface S soit du deuxième degré, la surface S est de deuxième classe, ces deux surfaces sont des quadriques.
Si d'un point [xq^ ?/o, Zq, to) on mène des plans tangents à la quadrique S, on sait que les points de contact de ces plans sont situés dans le plan
Corrélativement, si Ton prend Tintersection de la quadrique S avec un plan (wo, Vq, Wq, n), les plans tangents aux points de rencontre passeront par un même point ayant pour équation
De même, si les coordonnées (xi, yi, Zj, ti) et (arj, î/2, 22, ^2) de deux points Ai et Aj vérifient la relation
on sait que la droite joignant ces deux points rencontre la quadrique en deux points conjugués jharmoniques par rapport à Al et A2.
Corrélativement^ la relation
Uifu^ -h vif[.^ -4- ivifl,^ H- Vifi.^ =
exprime que les plans tangents menés à la quadrique S par l'intersection des deux plans Pj (wi,ui,i^,, r,) et ï*2{u2,V2^W2^r2) sont conjugués harmonique.s par rapport à Pi et Pg.
