NORMALES
équation du deuxième degré en a?, tj, z, t qui est l'équation ponctuelle du cône circonscrit.
Cette équation est la condition pour que la droite qui joint les deux points (a, p, y, 8) et (o?, y, z, t) soit tangente à la quadrique donnée.
Tous ces résultats sont visiblement applicables au cas où
l'équation donnée,
f{u, Vy w, r) = 0,
représente une ligne au lieu d'une surface.
91. Équation de la courbe de coDtact. — Le cône circonscrit à la surface S et ayant pour sommet le point A touche cette surface en tous les points d'une courbe ; nous nous proposons d'obtenir Téquation tangentielle de cette courbe.
Soient m, t?, t/?, r les coordonnées d'un plan tangent au cône ; ces nombres vérifient les équations
/•(m, 1?, uj, r) = 0, aw -i- ^r -h Y"? 4- ôr = ; le point de la courbe de contact situé dans ce plan a pour coordonnées / u» / t>> /tu» /r»
Soit Po(t^, t?o, too, >*o) un plan tangent à la courbe de contact en ce point ; on aura d'abord
«oA + ^o/*t 4- lOoA 4- nf'r = ; (4)
en outre il faut écrire que ce plan contient la tangente à la courbe de contact, ou, ce qui revient au mème^ quMl contient le point de la courbe infiniment voisin.
On peut considérer u, v, w comme fonctions d'un paramètre et r comme constant ; on différentiera la relation (4) par rapport au paramètre ; en désignant par u', i?', w' les dérivées de u, t?, w?, on a
+ w'iuofutv -h vof'iu, -i- wofU + roM = ; (5)
124 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
u\ v\ w' vérifient d'ailleurs les équations suivantes :
%u' + P^' 4- yto' = 0, obtenues en différentiant les relations (1).
On peut tout d'abord éliminer u\ v\ w' entre (5) et (6) ; on obtient Téquation
On aura alors Téquation de la courbe de contact (wo, vo, too, ro désignant les coordonnées courantes) en éliminant u, u, to, r entre les équations (1), (4) et (7).
Dans le cas où f(u, v, w, r) est du deuxième degré, la relation (4) peut s'écrire
(5) devient alors
et on doit éliminer w, t?, ic, r entre (1), (4) et la relation suivante :
/ u fv fw
L'élimination est relativement simple, car on a trois relations linéaires entre te, v, to, r.
92. Si Ton donne une surface développable définie par deux équations tangentielles
o(w, i\ w, r) = 0, on ne pourra mener à cette surface par un point A(a, p, y, S) qu'un nombre limité de plans tangents dont les coordonnées seront données par les équations précédentes et la suivante :
aw -h pw -h 7?^ 4- Sr = 0.
Le nombre des plans tangents qu'on peut mener à une surface développable par un point est, comme nous l'avons déjà dit, la classe de la surface.
On peut obtenir l'équation ponctuelle de l'ensemble de ces plans.
Soit M(a?, y, z, f) un point appartenant à Tun de ces plans
tangents ; écrivons que par la droite AM on peut mener un
plan tangent à la surface : il faut et il suffit que les quatre
équations
cp(w, V, w, r) = 0,
aw H- pv -h Y^^ -h Sr == 0,
xu -^ yv -^ zw -i- tr =z
aient un système de solutions communes en w, v, il\ r. En éliminant ces inconnues entre ces quatre équations, on aura réquation de l'ensemble des plans tangents.
93. Application. — Trouver Véquation de Vensemhle des plans tangents menés par un point (a, ^, y) à un cône ayant pour équation ponctuelle
Les équations tangentielles du cône sont
«2^8 ^ ^8^2 c2to2 = 0,
Ecrivons les équations
du -\- ^v -\- ^vo -\- r =1 0,
ux -\- vy -\- wz ~\- r =z 0,
et éliminons Uy v, w entre ces quatre équations. Les deux dernières donnent, en y faisant r = 0,
P^ — yy T^ — aj ay — ^ ' et en remplaçant dans la première, on a
«^(pî - Yt/;2 |. ^(^a? — aj)2 — c*(at/ — paî)« = . il est aisé de vérifier que cette équation représente deux plans.
94. Plans tangents parallèles à une direction de droite donnée. — Désignons par a, p, y les paramètres directeurs de la direction donnée ; on peut considérer les plans parallèles à cette direction comme passant par le point à l'infini qui a pour coordonnées a, p, y^ 0-
126 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
Nous sommes donc ramenés au problème résolu plus haut : il suffit, dans les calculs qui précèdent, de faire 8 = 0.
Si la surface n'est pas développable, c'est-à-dire n'a qu'une seule équation tangentielle,
on pourra lui mener une infinité de plans tangents parallèles à la direction donnée ; ces plans seront tangents à un cylindre dont les équations tangentielles seront
wa H- vp -♦- ?^Y = ^•
On aura comme on l'a vu plus haut l'équation tangentielle de la trace de ce cylindre sur un plan quelconque, l'équation ponctuelle du cylindre lui-même, l'équation tangentielle de la courbe de contact, etc.
