Ces résultats s'appliquent au cas où Téquation
/*(«, u, îL\ r) = représente une courbe.
Ainsi le cylindre projetant cette courbe sur le plan des xy aura pour équations tangentielles
fyu, V, m;, r) = 0,
Sa trace sur le plan des xy aura pour équation
On voit donc que pour obtenir l'équation de la projection d'une courbe sur le plan des xy, il suffit de faire m; = dans l'équation tangentielle de la courbe.
96. Si la surface donnée est développable, on pourra lui mener un nombre limité de plans tangents parallèles à la direction donnée ; il sera aisé de former l'équation ponctuelle de l'ensemble de ces plans tangents.
97. Plans tangents par une droite. — Le problème n'est possible que si la surface n'est pas développable. Soit S une telle surface, ayant pour équation tangentielle
et soit une droite A définie par les équations de deux de ses>
points,
uxx -\- viji -h wZi -h r = 0,
i/a?2 -f- t?y2 + WZ2 -h r = 0.
Ces trois équations déterminent les coordonnées des planstangents menés par la droite à la surface.
Le point de contact d'un plan tangent a pour coordonnées^ Aï Aï A' A'» ^^ écrivant qu'un plan contient ce point
WoA -+- ^oA -+■ "^oA + ^o/*'r = 0,
et en éliminant w, v, w^ r entre les quatre équations écrites, on aura la condition pour que le plan (mo, Vq ^o, n) passe par Tun des points de contact, c'est-à-dire l'équation tangentielle de Tensemble de ces points.
On peut aussi avoir l'équation ponctuelle de l'ensemble de ces plans en éliminant w, v, w, r entre les équations
f{u, V, w, r) = 0, uXi -h viji -h WZi ^- rti = 0, uXi -H uj/2 -H ^^2 -H rti = 0, ux-r-vy -]- wz -\-rt = (S,
Des trois dernières on peut tirer des quantités proportionnelles à w, V, w^ r en fonction des coordonnées pluckériennes (a, ^, y» ^ wi, n) de la droite (22)
Zi
ti
Zi
Zt
= X(P2-YJ/-//),
= — X(Yar — az — m<),
= — H^y — Poî — ni).
Xi 1/1 ti
OCf î/2 h
a?i yi Zi
X2 t/î Zi
En remplaçant w, u, m;, r par leurs valeurs dans Téquation de la surface, on obtient
f{^z — yy — It, Y^ — «2 — mt, oLy — ^x — nf, /x + my -♦- nz) = 0.
= — \{lx -h my -+- nz) .
98. Exercice. — Trouver V équation du complexe des droites par lesquelles on peut mener deux plans tangents perpendiculaires à un ellipsoïde.
Soit a^u^ + bH'^ -h c^w^ — r» =
réquation tangentielle de Tellipsoïde rapporté à ses axes.
L^équatioQ de Tensemble des plans tangents menés à cette surface par une droite A(a, % y» ^> ^> **) ^st a\^z — yy — Itf + b\^x --olz — mt)^ -f- c\9.y — ^a? — - nt)*
— {}x -f- my + n^)2 = 0,
Pour que ces deux plans soient perpendiculaires, il faut que la somme des coefficients de a?*, y^ et z^ soit nulle, ce qui donne
«2(^2 , ^2) ^ Ô2(.^8 4. aS) ^ c2(oi2 -f ^2) (^ 4. ^2 ^ ^2) -- Q ;
c'est réquation cherchée.
99. Il est utile de rappeler ici que le nombre de plans tangents qu'on peut mener à une surface par une droite est égal au degré de Téquation tangentielle, et que ce nombre s'appelle la classe de la courbe.
100. Plaos tangents parallèles à une direction de plan donnée. — C'est un cas particulier de l'étude précédente ; il suffit de supposer que la droite donnée est à l'infini. Nous traiterons néanmoins la question directement.
Soit /*(w, u, !(;, r) =
réquation langentielle de la surface, et
réquation de la direction de plan.
Un plan tangent à la surface parallèle au plan donné aura une équation de la forme
UçfiC -4- VçiXf H- w^ H- X = 0,
où X sera déterminé par l'équation
f[Uo, Vo, tv^, >) = 0.
Supposons que la surface soit un ellipsoïde a^y} 4- ^2^'' + c^w^ — r» = 0.
On pourra mener deux plans tangents parallèles au plan
u^x + v^y-k-w^z = ; ces deux plans auront pour équations
i/oOî -4- Uo2/ -+- w^oz =t v^a^J -h bHl -h c^wl = 0. Dans le cas où la surface est un paraboloïde, pv^ 4- qw^ — 2i/r = 0,
on pourra lui mener un seul plan tangent parallèle au plan
donné, et son équation sera
pvl + qwl UqX -h Voy -h WqZ -\ = 0.
101. On peut obtenir Téquation tangentielle de Tensemble des points de contact de la manière suivante.
Écrivons qu'un plan (w, v^ lo, r) passe par le point de contact du plan tangent (le,,, Vq, m^o» ^) '» on aura
«Ao "»- ^Ao -+- ^Ao -*- ^A = 0,
avec la condition
f[u^, vo, Wo, X) = 0.
En éliminant X entre ces deux équations, on aura l'équation de l'ensemble des points de contact.
Si la surface est de deuxième classe, la première équation peut s'écrire
Uof'u -f- Vof'v 4- Wofio -H Ifr = 0, COORDONNÉES. — I 9
et le résultat de rélimination est
fl Mo, Vo, Wo, -p '- j =
ou
équation qui représente les deux points de contact; le premier membre est alors décomposable en un produit de deux facteurs.
Si le coefficient de w^ est nul, Tun des points est à Tinfini ; par conséquent, en écrivant que dans Téquation précédente le coefficient de w^ est nul, on a une relation entre Mq, Vq^ Wq qui exprime que ces quantités sont les coefficients directeurs des plans asymptotes. Cette relation est donc Téquation tangentielle de la section de la surface par le plan de Tinfini.
En y joignant Téquation d'un point quelconque, on a les équations tangentielles du cône des directions asymptotiques ayant pour sommet ce point.
