Intersection d'une surface et d'un plan. — Soit

f{u, V, w, r] = l'équation tangentielle de la surface et u^^, vq, w^^ Vq les coordonnées du plan donné Pq.

Cherchons d'abord Téquation tangentielle de la section plane, c'est-à-dire la condition pour qu'un plan P(m, v, w, r) soit tangent à cette section. Il faudra pour cela qtfe la droite intersection des deux plans F et Pq soit tangente à la surface, ou que par cette droite on puisse mener à la surface deux plans tangents confondus.

Un plan quelconque passant par l'intersection de Pq et de P a pour coordonnées u + Xwq, v -+- X^o, tv -\- IîVq, r ■+■ Ir^ ; ce plan sera tangent si l'on a

f{u-\-luo, v-\-lvo, iv-\-liVo, r + Xro) := 0.

A chaque valeur de X, racine de cette équation, correspond un plan tangent passant par Tintersection de P et de Po ; pour que P soit tangent à la section de la surface par le plan Po, il faudra que cette équation en X ait une racine double ; on annu-

lera donc le discriminant du premier membre, et on aura l'équation cherchée.

Si la surface donnée est une quadrique, l'équation précédente s'écrit

f{u, V, W, r)-+-X(WoA-+- V«+^o/'i;+n/*r)+^Y(Wo, ^0, Wç,, Vq) = 0,

et pour que cette équation ait une racine double, on doit avoir (WoA -+- Vi -^ ^ofw -h ro/*rV — 4/*(w, V, w, r)f{uo, Vq, Wq, n) = 0, comme on l'a d'ailleurs déjà obtenu au numéro 86.

Cette équation représente une conique, dont on discutera plus loin la nature.

On peut remarquer tout de suite que si le plan donné est tangent, c'est-à-dire si f[uo, Vq, w^, r^) = 0, l'équation se réduit à

elle représente un point double, qui est le point de contact du plan tangent.

Ce résultat était à prévoir, car le plan coupe la surface suivant deux droites, et l'équation tangentielle d'une pareille section est la même que l'équation du point de rencontre de ces deux droites, ce point étant compté deux fois.

Si /*(w, u, m;, r) = représente une conique, l'équation précédente représente les deux points de rencontre du plan et de la conique.