La condition

{uof'u -h vof'v -+- wof'u} + roA)^ — -^A^j ^> w?, r)/*(ito, vq, wq, ro) = exprime que la droite intersection des deux plans P(w, i?, lo, r) et Po(wo, t?o, ico, ^o) est tangente à la quadrique.

Cette relation peut se mettre sous une autre forme en fonction des coefficients de Téquation ponctuelle de la surface,

o{x, y, z, t) = Aa;2 + Ay 4- M'z^ + 2^y2 + SB'jo? + 2Wxy-\-%Cxt

-h 20: yt -^ 20!' zt + D«2 z= 0.

Nous écrirong simplement que le plan tangent à la surface en un point commun aux deux plans contient la droite intersection de ces deux plans.

Si a?, y, z, t désignent les coordonnées d'un point commun aux

132 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE ÇANS l'eSPACE

deux plans, on a \

Xoi + Ycpi 4- ZTi + Tcp; = n{uX + i?Y + loZ -4- rT)

. + 2)/(t*oX 4- vqY + tcoZ + roT), d'où l'on tire, en égalant les coefficients de X, Y, Z, T, Ax -h Wy 4- B'j 4- C« — lu — X'wo = 0, B'a? 4- A'y 4- B« 4- G'* — Xi? — X'vo = 0, B'a? 4- By 4- A'z -+- Ct — Iw — l'wo = 0, 04- C'y 4- Cz 4- D* — Xr — XVo = 0.

On a aussi les conditions

ux 4- t?î/ 4- wz 4- r< = 0, woû? 4- ^oy 4- 1^0- 4- rot =: 0.

En éliminant œ, y, z, t, X, X' entre ces équations, on a

A B" B' G u ifo

B" A' B C V vo

B' B A" G" w wo

G G' G" D r ro

UQ Vo ico ro

Pour établir Tidentité des deux conditions, multiplions les éléments des quatre premières colonnes du déterminant respective-

ment par — f'u, — /*[., — /*4, -^ fr, et ajoutons ces produits

aux éléments de la cinquième colonne, après avoir multiplié ces derniers par —A, A désignant le discriminant de la fonction f{if, V, w, r).

Les quatre premiers éléments de la cinquième colonne sont alors nuls, car on a visiblement

-i-(AA+BYt4-Bri

Cf'r) = Aï/.,