BY; 4- Ar; + Bf[o 4- C'fr) = At
cy;) = Aïo,
-^(BTu + Bri + AYIc
Y i^fu + ^Tv -h CTw 4- D/-;) = Ar.
De même, multiplions les éléments des quatre premières colonnes
respectivement par — /"u^, — f'v^, — fw^, — fr^ et ajoutons
ces
produits aux éléments de la sixième colonne mu
ilUpliés par
Si Ton pose
H = ufi,^ 4- «Ao -+- ^Ao + ^f^o = ^o/"" + ^«/"i -+- ^oA + rof'ry
la relation s'écrit
GO
DO
wo
n — - H /•(Mo, «0, loo, ro)
ou
f{u,v,w,r) Y H — H /•(Mo, vo, m, ro)
et en supprimant le premier déterminant, qui est égal à A^, on obtient précisément la condition
Wio + ^f'^0 + ^/"î^-o -^ ^Ao^'^ — ^A^» ^y ^y ^)/'(«*o, i?o, w?o, ro) = 0.
Corrélativement^ la condition pour que les deux points (a;, y, j, *), (^0» 2/o> -2^0» *o) soient situés sur une tangente à la quadrique, ou encore l'équation du cône circonscrit de sommet {xq, i/q, ^o» 'o) peut s'écrire indifféremment
(^io + y?lJo + -?io + ^?'o)^ — ^?(^» y» -> 0?(^0, yo, 30, to) =
ou
b' b a' c" z zçs c c' c" d t ta
xo 2/0 ^0 <o
Cette dernière éqi
lation a été obtenue dir
ectement au numéro 90.
104. Plans tangents en tous les points d'une section plane. ^
U suffira d'écrire que le point de contact d'un plan tangent est situé dans le plan sécant donné.
On aura donc pour déterminer ces plans tangents les deux
équations
^tofu H- Vofv -H ^^oA + '^ofr = ; elles admettent une infinité de solutions.
Si Ton y considère k, v, w, r comme des coordonnées courantes, ces équations représentent une surface développable qu'on appelle la développable circonscrite en tous les points de la section plane.
Si la surface donnée est de m* classe, les équations écrites plus haut sont de degrés m et m — 1, la développable circonscrite est de classe mlm — 1).
Dans le cas particulier où le plan est à Tinfîni, la développable circonscrite correspondante est la développable asymptote ;
ses équations sont
Si la surface est de deuxième classe, la développable circonscrite est un cône qui a pour sommet le point
(/ «0» Ao» /««o' trQ)>
car la deuxième équation peut s'écrire
On retrouve ainsi une propriété bien connue des quadriques : Les plans tangents en tous les points d'une section plane passent par un même point ; ce point est appelé le pôle du plan ; c'est le sommet du cône circonscrit à la surface le long de la section plane considérée.
Si le plan est à Tinfini, le cône circonscrit est le cône asymptote ; ses équations sont
Cette seconde équation, /*/ = 0, est l'équation du pôle du plan de l'infini, c'est-à-dire l'équation du centre. Il est utile de bien retenir le résultat qui suit : Si un plan
(mq, Uq, Wq^ ro) est tangent à une quadrique ayant pour équation
f{u, V, w, r) = 0, l'équation du point de contact est
Si le plan n'est pas tangent, cette dernière équation représente le pôle du plan. Les coordonnées de ce point sont Aoî Ao^ Ao' Ao' ®* ^^^ équation peut aussi s'écrire uofu -+- î^o A + ^ofw -h ro A = .
