Dans le cas où Téquation

f(u, V, w^ r) •= représente une courbe, un plan quelconque la coupe en un nombre limité de points ; les deux équations

Uofu H- VoA -+- ^oA + ^oA = ^ admettent comme solutions les cordonnées de tous les plans qui passent par les tangentes à la courbe aux points considérés ; on peut dire alors que ces deux équations représentent un certain nombre de droites.

Si l'équation de la courbe est du deuxième degré, les équations

représentent les asymptotes de la conique.

106. Supposons maintenant que l'on ait à déterminer l'intersection d'un plan Po(uo, Vq, Wq^ r^) avec une surface développable définie par les équations tangentielles

Pour qu'un plan P(m, v, w^ r) soit tangent à la section plane, il suffît que la droite intersection de P et de P^ soit tangente à la surface, autrement dit que par cette droite on puisse mener un plan tangent à la surface. La droite touchera alors la sur-

i36 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

face au point de rencontre de cette droite et de la génératrice de contact du plan tangent.

Un plan passant par l'intersection de P et de P^ a pour coordonnées mh-Xw„, u-^-Xvo, w -{-"kw^^ r-^Xro] le plan sera tangent à la surface si Ton a

f{u -h Xmo, V + Ivo, w -+- \Wo, r H- \ro) = 0, «P(m-+-Xko, u + Xuc, w-hy^îVo^ r-hXro) = 0.

En éliminant X entre ces deux équations, on aura l'équation cherchée.

Cette méthode a déjà été exposée au numéro 88 dans le cas particulier où la surface développable est un cône. Si le plan donné est le plan des xy, on aura

Uq =vo = ro = 0, et on devra éliminer X e'ntre les équations

f{u, V, w + lwo^ r) = 0, cp(w, u, w-h Xm^o, ^O = ; cela revient à éliminer w entre les deux équations de la surface, comme nous l'avons vu au numéro 69.

Tout plan tangent touche la surface en tous les points d'une génératrice ; on peut donc considérer ce plan comme ayant son point de contact dans le plan sécant donné au point de rencontre avec la génératrice.

107. Inlerseotion d'une surface el d'une droite. — Soit la surface

et une droite a définie par l'intersection de deux plans

Pi(wi, V,, Wi, r,) et P2(Wî, ^2, W2, n).

Cherchons les plans tangents aux points de rencontre de la

droite et de la surface.

Si le, V, w^ r sont les coordonnées d'un de ces plans, on

aura les équations

f[u, Vy w, r) = 0,

Uifu 4- V,f, -h W,fL -4- nf'r = 0, Uifu + Vif',, + W^fL -+- Tif'r = 0,

ces deux dernières étant obtenues en écrivant que le point de contact du plan tangent est situé dans le plan Pi et dans le plan P2.

Les trois équations précédentes déterminent les plans tangents. Si la surface donnée est de classe m, les deux dernières équations sont de degré m — 1, par suite le nombre des solutions sera m[m — 1 )' .

11 résulte de là qu'une droite rencontre une surface non développable de classe m en m[m — 1)^ points, c'est-à-dire qu'en général le degré d'une surface déclasse m est m[m — 1)'.

Ce nombre peut évidemment s'abaisser si la surface présente des plans tangents multiples, caries coordonnées de ces plans annulent f'^, f'^, f'^^ f'r et par suite vérifient les trois équations précédentes, quelles que soient les coordonnées des plans Pi et P2. Ces solutions ne doivent pas être comptées dans l'évaluation du nombre de plans tangents aux points de rencontre de la surface et de la droite.

Si la surface est de deuxième classe, on aura deux solutions.

On peut obtenir aisément dans ce cas soit l'équation tangentielle de l'ensemble des points de rencontre, soit l'équation ponctuelle de l'ensemble des plans tangents.

Nous reviendrons d'ailleurs sur ces questions dans l'étude particulière des quadriques.

108. Le problème est évidemment impossible si l'équation donnée,

fyu, V, w, r) = 0,

représente une courbe ; les trois équations du numéro précédent n'ont en général aucune solution.

109. Supposons maintenant que la surface donnée soit développable et admette pour équations tangentielles

f[u, V, w, r) = 0, cp(w, u, Wy r) = 0.

Zl

Zî

138 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

Pour déterminer les plans tangents aux points de rencontre de la surface et d*une droite a, il suffira d'écrire que la génératrice d'un plan tangent rencontre la droite A.

Supposons la droite définie par deux de ses points,

(X,, ?/i, Zi, ti) et {X2, ?/2, 22, ^2).

La génératrice de contact d'un plan tangent (1/, u, iv, r) joint les deux points (/"«, /"i, fL, fr) et (<pu, ?;, ?/«, <pr). Ces quatre points devront être dans un même plan, ce qui donne la condition

En y joignant les deux équations de la surface, on a trois équations qui déterminent les plans tangents cherchés.

Si les deux équations de la surface sont de degrés m et n, la troisième est de degré (m — l)(n — 1) ; par conséquent le nombre des solutions est mn[m — l)(n — 1), c'est le degré de la surface.

110. Normales. — Nous supposerons les axes de coordonnées rectangulaires.

Soient wo, Vo, w;o, r^ les coordonnées d'un plan tangent à une surface ayant pour équation tangentielle f{u, V, w, r) = ; la normale correspondante passera par le point de contact (Ao» Ao' Ao» A) et aura pour paramètres directeurs Wo, «0, m;o.

Il en résulte que ses coordonnées pliickériennes seront

Xa = Wo, X/ =

Xp = Uo, ^W2 =

Xy = m;o, Xn =

Ao

WoAo — "oAo