AT

MoA„— «oAo

avec la condition

f{uo, Vo, Wo, ro) = 0.

On voit ainsi que a, p, y, /, w, n sont fonctions de deux paramètres indépendants ; il en résulte (28) que les normales constituent une congruence.

On aura deux équations pour définir cette congruence en éliminant Uo, Vqi ^'oi ^q^ ^ entre les équations qui précèdent.

Le raisonnement subsiste dans le cas où Téquation donnée représente une courbe.

111. Supposons maintenant que la surface soit développable et ait pour équations tangentielles

un plan tangent (wo, t?o, w^o, ^o) la touche suivant une génératrice ; il y aura une infinité de normales correspondantes, dont les pieds auront pour coordonnées

/*io-+-t^?^)» Ao-+-»^?î'0' Ao-t-l^?!^o' /*ro+[^?roi

et les coordonnées pluckériennes d'une de ces normales seront

Xa = Mo, X/ =

Xp = vo, ^wi =

Xy = Wq^ Xn =

avec les conditions

Mfûp -^ t^?Uo) — Uoifw^ -^ H?Uo)

Ao -+- ^?^0

/*(iio, Vo, w^o, ro) = 0,

o(wo, Vo, w^o, ^o) = 0.

Ces coordonnées de la normale sont encore fonctions de deux paramètres.

112. Exemple. — Trouver les équations de la congruence formée par les normales à un cône de révolution.

140 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE

Supposons que le sommet du cône soit à Torigine, que son axe soit l'axe O2, et désignons par le demi-angle au sommet.

Pour qu'un plan soit langent au cône, il faut qu'il passe par l'origine et qu'il fasse un angle 6 avec l'axe des z ; les équations tangentielles du cône seront donc

r =r 0, w2 + tj2 — ^.2 colg2 = 0.

Soient u^ v, w, les coordonnées d'un plan tangent ; les coordonnées d'un point de la génératrice correspondante sont u, v, — te cotg^ G, jx ; par suile les coordonnées de la normale en ce point sont

^ . — nc'i -f-cotg^ 6) Aa = u, Al =: ,

Ay = K3, X»z = 0,

avec les conditions

tfc2 ^ ^2 j^2 cotg2 = 0.

En éliminant u, v, w, r, X, {jl entre ces équations, on obtient a» + fi2 y2 cotg2 = 0, n = 0, Toutes les autres relations qu'on peut obtenir se déduisent de celles-là en tenant compte de la condition Za + wp -h wy = 0.

Ces relations sont faciles à interpréter géométriquement ; la première exprime que toutes les normales sont parallèles aux génératrices du cône supplémentaire du cône donné ; la deuxième exprime que toutes les normales rencontrent Taxe.

EXERCICES ET NOTES

1. Trouver le lieu des points tels que les plans tangents menés de ces points à un cône de deuxième classe fassent un angle donné.

Supposons que le cône ait pour sommet Torigine et soit rapporté à ses axes ; ses équations tangentielles seront

Am2 j b„2 , Cw?2 = 0, r = 0.

Si a?, y, 2 désignent les coordonnées d'un point du Jieu, les plans

tangents menés de ce point au cône seront déterminés en direction par les équations

Att2+Br»-t-CM?» = 0, (I)

tij? -h ry H- toz = ; on devra avoir

un' -\- rr' -f- icir'

= cos 6,

^M» -4- r* -f- ic=' v^w'* + r'* -+- w^

M, t», 10 et te', 1?', te' désignant les solutions des équations (1).

2. TVoMrer V équation générale des surfaces de deuxième classe dont le contour apparent sur le plan des xy est un cercle.

Cette équation est

{u% -h r? 4- r)« — R»(m« + f«) -4- io(At« -+- Br -f- Cir + Dr) = 0,

car il faut qu*en faisant to = dans cette équation, on obtienne Péquation tangentielle d'un cercle.

Si le discriminant du premier membre de Téquation est nul, Téquation représente les coniques qui se projettent sur le plan des xy suivant un cercle.

3. Étant donnée une surface ou une courbe définie par son équation tangentielle^ trouver Véquation de la figure symétrique par rapport à un point ou par rapport à un plan.

A. Étant données les équations tangentielles d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Oar,

f{u, V, ic, r) = 0, u = 0,

on demande de trouver Véquation de Vensemble des plans tangents

qu'on peut mener à ce cylindre parallèlement à une direction donnée.

Soient x, y, z les coordonnées d'un point de Tun de ces plans

tangents, et a, ^, y les paramètres directeurs de la direction donnée.

Les quatre équations

f[u, r, ir, r) = 0,

w = 0, ua? -h r 1/ -h ic^ -f- r = 0, wa -t- ffi -h irv z= doivent avoir un système de solutions communes ; des trois dernières on tire

et en portant ces valeurs dans la première, on a Téquation cber-

/•{O, T, -?, ?=-Yy) = 0.

i4Î2Î COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

5. Trouver Véquation tangentielle de la courbe de contact du cône

circonscrit de sommet (a?, y, z) à Vellipsoide

«2^2 4- bH^ -h c^w^ — r2 = 0.

Kn faisant c = dans Véquation obtenue, on doit retrouver

Vellipse

a^u^ -i- bH^ — r2 = 0.