Soit réquation d'une quadrique

f{u, V, 10, r) = au^ + a'v^ + a''w^ -{- 2bvw -+- • nous allons démontrer que la relation

+ dr2 = p ;

yi

<îf2

c'' rf

^1 ti

lan des trois points

A3(a?3, ys, ^3, «s)

est tangent à la quadrique.

En effet, soient w, v, w, r les coordonnées du plan de ces trois points ; on devra avoir les conditions

uxi -f- tjî/i + xcz^ H- rt^ = 0,

UX2 + vy2 H- tf^Z2 + r^2 = 0,

ux.^ -h ^^3 + 10^3 + rt^ = 0,

Le point de contact de ce pian a pour équation

Wu-^yfv-hWlo-hWr = 0,

et comme ce point est dans le plan A1A2A3, on a

Wû -^ vn -4- w/-;. + Rf'r = 'M^^i + V2/1 + w.-i + Rt^)

-+- 2X2(Ua?2 + V2/2 -4- Wj2 + R^2) + 2X3(Uo73 -i- V2/3 + W^3 + R^a) . On en déduit

au -h b"v + &'io -i-cr — Xi07i — Xooro — X3a73 = 0, . b"u, -h a'v -h 6io -h c'r — Xiî/i — X22/2 — X3I/3 = 0, b'u + ôy -h a"io + cV — Xi^^i — ^2^2 — Xs^a =i 0, I

■ dr — Xi^i — X2^2 — Xgfa = 0, uxi + viji + ic^i + rty^ = 0, îf072 -4- vy2 -4- 10,3:2 + >*^2 "=■ 0, wa73 -f- r2/3 4- 10ZZ -\- rt2 =■ 0.

11 est inutile d'écrire la relation

/•(w, I?, w, r) = 0, qui se déduit des précédentes.

En éliminant m, Vy xc, r, Xi, X2, X3 entre les équations (2), on a la relation (1).

Si on y considère a?!, yi, ^1, h comme coordonnées courantes, cette relation est l'équation de l'ensemble des plans tangents menés à la quadrique par la droite A2A3.

Corrélativement, étant donnée l'équation ponctuelle d'une quadrique, on pourrait obtenir sous une forme analogue la condition pour que le point de rencontre de trois plans soit sur la quadrique.

On en déduirait l'équation tangentielle des points de rencontre d'une droite et de cette quadrique.