L'équation générale des surfaces de deuxième classe est

/*(w, u, w, r) = au^ + a'v* -h aW + 2bvw + 2b^wu + ^Vuv

-h 2cwr + 2c W -h ^c''wr + dr^ = 0.

Le discriminant du premier membre est

Nous désignerons par des grandes lettres A, A', A", B, B', B", C, C, C, D les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement de A.

On a par exemple

etc,

CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 145

D est le discriminant de la forme

g[u^ u, w) = au* 4- a!v* -h aW -h ^bvw -h ^l/wu H- 2b"uv.

On peut développer aisément le déterminant a, soit en appliquant la règle de Laplace, ce qui sera surtout commode quand il y aura des éléments nuls, soit en écrivant

Le premier des déterminants du second membre est égal à Dd ; quant au second, sa valeur a été donnée en géométrie plane ; si on y considère c, (/, c" comme les coordonnées homogènes d'un point d'un plan, ce déterminant est égal au premier membre de l'équation ponctuelle de la conique qui aurait pour équation tangentielle g{u^ v, w) = 0.

On aura donc

A = Drf — {a'a" — b^)c* — {a"a — b'^y* — [aa' — b''^y*

- ^ib'b' — ab)c'c" — 2{b"b — a'byc — 2{bb' — a"b")cc'.

Rappelons encore que si A ^zf: 0, Téquation ponctuelle de la quadrique est

«p(ar, y, s, t) = Kx^ -h My* -H A'z^ + 2Byz -h 2B'za? H- 2B"xy

+ 2Cxt + 2Cyt + 2C"zt -h Dt* = 0,

et l'on a

114. Le discriminant de la fonction cp(a?, y, z, t) est le déterminant adjoint de A, nous le désignerons par A' ; on a

446 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

Si Ton multiplie A par A', le produit s'écrit

A d'où

Cette démonstration suppose A ^6 ; le résultat subsiste évidemment si A est nul.