AA
115. Entre les mineurs des déterminants A et A' il existe des relations fort importantes, bien connues, et que nous allons rappeler en considérant un déterminant quelconque
ai af.
et son déterminant adjoint
A} Ai
kl
Aa
AS
Soit h' un mineur quelconque de degré p du déterminant H'; considérons le mineur h de degré n — p du déterminant H obtenu en supprimant dans H les lignes et les colonnes de même rang que celles qui ont été conservées dans H' pour former h' ; nous dirons que h et h' sont des mineurs complémentaires.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES
Nous allons montrer que Ton a
h' = ±:h^^K Supposons d'abord que Ton ait
A^ A| , , , ri.\
on peut l'écrire
Ai Aï
Ag Aj
Aj A;j
A^ Ay
AJ
.. Aï Af^» Af+»
. A* AJ+' Af+-»
A|j Aj)
AJ+'
Multiplions ce déterminant par H ; on aura H ...
aî+i
af+-»
ap-' ap;\ a^l
aJ
■l'p-if-l ";>-f.2
ce qui peut s'écrire
Eh! =
Aï A?
OS
148 COORDONNÉES TAN GENTI ELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Or le premier déterminant est égal à H^, le second est précisément le mineur complémentaire de h' ; on aura donc
c'est-à-dire
Supposons maintenant que le mineur h' soit obtenu en prenant p lignes et p colonnes quelconques dans le déterminant H' ; on pourra amener les éléments de ce mineur à occuper les p premières lignes et les p premières colonnes.
On transformera ce mineur comme plus haut en un déterminant de degré n, lequel sera multiplié par le déterminant H, où Ton aura déplacé d'une façon semblable les éléments des lignes et des colonnes, et on aura la relation
en prenant le signe -h ou le signe — , selon que pour amener les éléments de h' à occuper les p premières lignes et les p premières colonnes on a fait un nombre pair ou un nombre impair d'échanges de deux lignes ou de deux colonnes.
116. Appliquons ce théorème au déterminant A. Prenons d'abord les mineurs du troisième degré du déterminant A'. On aura
= A«rf,
etc.
on voit ainsi que les coefficients des éléments dans le déterminant A' sont proportionnels aux éléments correspondants du déterminant A ; c'est ce que nous avions déjà établi au numéro 53.
Prenons maintenant les mineurs du deuxième degré de A'. En appliquant le théorème qui précède, on obtient vingt et
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 149
une relations correspondantes aux vingt et un mineurs de A' : A'A" — B^ = A(arf — c*), AD — G* = A(aV — 6*),
A"A — B'2 = A(a'rf - c% MD — C'^ = A(a''a -- b%
XM - B"« = \{a''d — c'»), k"D — C'^ = A(aa' — 0"%
B'B" — AB = A(M - c'c"), BD - G'C = £i{b'b" - aô),
BB' — A'^B" = A(6"rf — ce') , B"D — CC = \{bb' — a'^b"),
MC — BG' = — ^{ac" — b'c), kC — B'G = — A(aV — ôc'),
A-'C — B'G'^ = — A(a'c — ÔV), A'G - B"C' = - A(a''c — ô'c"), AC' ~ B^G = — A(aV — ôc^), A''C' — BG" = — A(ac' — b'c),
B'C — B'G" = A(ÔV — 6^0, B'r — BG = A(/^V — 6c), BG — B'C = ^[bc^b'c'),
117. Pour établir la nature de la quadrique représentée par l'équation générale écrite plus haut, nous décomposerons le premier membre de l'équation en carrés, et nous changerons les axes de coordonnées en nous servant des formules de transformation (1) établies au numéro 50.
Nous rappellerons que le carré de la distance d'un point (a?, î/, z) à l'origine est
^['^i y» z)^iP'^-i-2/*-i-z'+2j/zcos2/Os-i-2za?coszOar+2a:j/cosa!?02/,
et que par suite les coordonnées du point directeur d'une direction joignant l'origine à un point (a, p, y) sont
