Ppemier cas. rf
La quadrique n'est pas tangente au plan de Vinfini,
On peut écrire
f{u^ u, w^ r) = — {dr -\- cu-\- dv -h d'wf -h çp(w, u, w) , a
150 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
cp(u, V, w) étant une fonction du deuxième degré par rapport à w, u, w,
i® Supposons A iyjf: 0.
f{u, V, w^ r) doit être décomposé en une somme de quatre carrés indépendants ; il en résulte que <p(u, i;, w) sera égal à une somme de trois carrés. On pourra écrire
/(w, i;, t/;, r) = — [dr -h cw -h c'v -4- d'w) -h h[<xu -4- ^u H- ^wY
aucun des nombres /i, A', A' n'étant nul.
Faisons alors la transformation de coordonnées indiquée par les formules suivantes :
, __ aw + pu -h Yi^ " ^/-W», P.Y)
r' = — (rfr + cw -h c'u -h cV) ;
cette transformation consiste à prendre pour origine le point qui a pour coordonnées cartésiennes -7, j-, -ri et pour directions d'axes les directions qui ont pour paramètres directeurs (a, p, y), («', P', ï') et (a'., p\ y"). L'équation de la quadrique devient
en posant m^ = ^^(a, ?, y), m'^ = ^[aî, p', y) • • • etc. L'équation ponctuelle correspondante sera (54)
et cette équation représente une quadrique à centre, un ellipsoïde ou un hyperboloïde rapporté à trois diamètres conjugués.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 151
La nature de la quadrique sera nettement indiquée par les signes des nombres h, h\ h" et d,
2*» Supposons A = 0, et un mineur du premier ordre différent de zéro.
Dans ce cas f{u^ u, w^ r) est décomposable en une somme de trois carrés indépendants ; il en résulte que çp(w, v, w) sera égal à une somme de deux carrés ; on aura alors
/*(w, u, w^ r) ■=. -y [dr + eu -f- dv H- d'wY + A(aM -h pw 4- "^wf
On fera la même transformation que celle indiquée plus haut, à cette différence près que a'', ^\ / pourront être arbitrairement choisis.
L'équation de la surface devient
On reconnaît Téquation d'une courbe située dans le plan des a/j/\ et dont les équations ponctuelles sont
hw} h'm!^ d
Cette courbe est une ellipse ou une hyperbole.
3* Supposons A = 0, tous les mineurs du premier ordre nuls, et un mineur du deuxième ordre différent de zéro.
Dans ce cas, cp(w, v, w) sera carré parfait, /(w, i;, m;, r) se décomposera en un produit de deux facteurs ; il en résulte que Téquation représente un ensemble de deux points situés tous deux à distance finie.
40 Si A = et si tous les mineurs du premier et du second ordre sont nuls, f{u, u, w, r) est carré parfait et Téquation donnée représente un point double à distance finie.
