Deuxième cas. (i
La quadrique est tangente au plan de Vin fini. Nous supposerons d'abord que les trois nombres c, d et c" ne sont pas nuls en même temps.
On a
/*(u, V, w^ r) ^ g{u^ u, w) -+- 2r(cM -h c'v -h c'w]^
en posant
g{u, V, w) ^ au^ -h a'v^ -\- a''w^ -h 2ôvt(; + 2b'wu -h 26*'mw.
Si c 9^ 0, on peut diviser ^(m, v, iv) par c« -h c'v -+- c^to en ordonnant par rapport à w ; on obtiendra une identité de la forme
g{u, u, w) ^ {eu -+■ c'v -+- c"w){oLu -f- pu -h -^w) H- «p(î;, i^),
<p(u, w) étant une fonction homogène du deuxième degré ne renfermant plus que v etw.
On aura alors
f{u, Vy w^ r) ^ {eu -f- c'v -h c''w){oLU -\- ^v -^ yw -{■- 2r) 4- <p(t;, w) •
i® Supposons A i^f: 0.
f{u, u, t/;, r) doit être décomposé en une somme de quatre carrés ; le premier produit donnant deux carrés, le terme suivant (p(v, w) sera décomposable en une somme de deux carrés, et on pourra écrire
/"(w, Vy Wy r) ^ {eu -h c'v -h c"w){olu -h^v -h^w-\- 2r)
-h h{pv H- qwy + h'{p'v -h q'wY .
Faisons la transformation de coordonnées indiquée par les formules suivantes :
, __ CM -f- c'u H- c"w "" ^^{c.d.c")''
, p'v + cfw w' = ^— • ,
>fm¥7Y)
__ aw -h pu H- Y?^ -h 2r 2 '
l'équation devient
hmH'^ H- h'm'^w'^ -+- 2Â:uV = 0, en posant
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 153
m^ = 4^(0, p, 9), m'^ = ^(0, p\ g') et k = v^+(c, c\ c"). L'équation ponctuelle correspondante est
Elle représente un paraboloïde elliptique ou hyperbolique selon que h et h! sont de même signe ou de signes contraires. L'axe est parallèle à OV.
2° Supposons A = 0, et un mineur du premier ordre différent de zéro.
cp(u, w) est alors carré parfait, et Ton a
On fera la même transformation que plus haut, en choisissant/)' et q^ arbitrairement ; on obtiendra Téquâtion
hw}v'^ -h 2Â:wV = 0.
Cette équation représente une conique dans le plan des x'y' ; ses équations ponctuelles sont
c'est une parabole dont Taxe est parallèle à OV.
3" Supposons A = 0, tous les mineurs du premier ordre nuls et un mineur du deuxième ordre différent de zéro.
cp(v, w) est identiquement nul, et l'équation représente deux points dont l'un est à l'infini.
On ne peut supposer ici que tous les mineurs du deuxième ordre soient nuls, car alors /*(w, v, w^ r) serait carré parfait, ce qui est impossible.
