Recennaitre si un plan variable passe par un point fixe

— Dans un grand nombre de cas on peut simplement résoudre la question en se donnant les coordonnées du plan w, r, w^ r, puis écrivant les conditions auxquelles est assujetti ce plan. On arrive alors à une relation entre u, v,w,r et certaines quantités constantes, et il suffit de reconnaître que la relation obtenue est du premier degré en w, v, lo^ r,

8. Exercices. — 1» Étant donnés trois axes de coordonnées^ on prend sur Ox, Oy, Oz respectivement des points A, B, C tels que

ÔÂ ÔB ÔG "" ^ '

a étant une constante ; démontrer que le plan ABC passe par un point fixe.

Soit ux -\- vy -\- wz -{- r =.

l'équation du plan ABC.

On aura

ÔÂ=: — -, ()B = --, ÔC = — — ,

et par suite

d'où

ce qui montre que le plan passe par le point qui a pour coordonnées a, a, a.

2° Un trièdre trirectangle tourne autour de son sommet supposé fixe et situé sur une quadrique. Démontrer que le plan qui contient les points de rencontre de la quadrique et des arêtes passe par un point fixe.

Prenons pour origine le point fixe, pour axe des ^ la normale à la quadrique en ce point, les deux autres axes étant rectangulaires et situés dans le plan tangent à Torigine.

L'équation de la quadrique est

Ax^ -h A't/2 -h A''^^ | 2Byz -h 2B'2x + 2B''xy -h 2C''z = 0.

Soit un plan

ux -\- vy -^ wz -\- r =z ;

le cône qui à pour sommet Torigine et qui s'appuie sur Tintersection de la quadrique et du plan a pour équation

r{Ax^-^Ay-hA"2^-\-2By2-+-2B'zx-h2B''xy)—2C"z(ux-i-vy-+-w2) = 0,

et il suffit d'écrire que ce cône est capable d'un trièdre trirectangle inscrit, ce qui donne

équation tangentielle d'un point situé sur Oz et dont la cote est «&al«a ~A + A' + A-

9. De même si ron veut reconnaître qu'un plan passe par une droite fixe, il suffira de montrer que ses coordonnées vérifient deux équations linéaires et homogènes; le plan passera alors par les deux points représentés par ces équations.