Équation du point d'intersection de trois plans. — Ëtant
donnés trois plans, Pj (wi, Vi, Wiy rj), Ps (^2, ^2, 1^2, r^), P3 (1/3, î^3, ^2t n), ces plans auront un seul point commun à distance finie si le déterminant
Ui Vi Wi
est différent de zéro. On aura l'équation de ce point en écrivant la condition pour qu'un plan (w, v^ w, r) passe par Tintersection des trois premiers. Cette condition est
t/3 ^3 ÎV3 7'3
en développant ce déterminant par rapport aux éléments de la première ligne, les coefficients de w, v, ii\ r seront les coordonnées homogènes du point d'intersection.
Si Ton suppose que le déterminant (5) soit nul, mais qu'un des déterminants à neuf éléments qu'on peut déduire du tableau
Ui
Wi
Ut
li\
Va
tVz
rz
soit différent de zéro, les trois plans donnés sont alors parallèles à une même droite, on peut les considérer comme ayant un point unique d'intersection à l'infini, et l'équation (6), dans laquelle le coefficient de r est nul, est toujours l'équation de ce point.
Si tous les déterminants à neuf éléments qu'on peut déduire du tableau qui précède sont nuls, les trois plans donnés passent par une même droite, et l'équation (6) est identiquement satisfaite.
11. Etant donnés deux plans non parallèles ayant pour équations
Pj = UiX -h Vi7j -+- WiZ -t- rj = 0,
Pj = UiX H- v^y -+- WiZ -+- rs =0,
on sait que l'équation générale des plans qui passent par leur intersection est
l\\ -H jaP2 = ;
il en résulte que les coordonnées de ces plans sont de la forme "kui -h [jlm2, Xu, + (iva, ^Wi -\- ixw2, Àri -+- fir^.
A toute valeur de — correspond un plan P passant par
12 COORDONNÉES TANGENTIELLES . — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
la droite intersection des deux plans Pi et Pg ; l'interprétation géométrique du signe et de la grandeur de ce rapport s'obtient aisément de la même manière qu'en géométrie plane. [Voir Première Partie {Géom. i^ilane)^ numéros 12 et 13.]
On verra en particulier que la condition nécessaire et suffisante pour que deux plans P et P' soient conjugués harmoniques par rapport aux plans Pi et P2 est que les rapports
— et -7 relatifs à ces deux plans soient égaux et de signes H- F
contraires.
12. Représentation de la droite. — Supposons que Ton ait deux équations linéaires et homogènes en u, v, w, r,
au -h bv "h cw -\- dr =. 0,
a'u -\- b'v -t- c'w 4- rfV = ;
tous les plans dont les coordonnées vérifient ces équations passent par les deux points qu'elles représentent; il en résulte que ces plans contiennent une droite fixe.
Nous dirons que ces équations sont les équations tangentielles de cette droite.
Ainsi, une droite est représentée en coordonnées tangentielles par deux équations, qui, prises séparément, représentent deux points situés sur la droite, de même que, en coordonnées ponctuelles, une droite est représentée par deux équations, qui sont les équations de deux plans contenant la droite.
