On peut résumer toute cette discussion de la manière
suivante.
véritable quadrique
A= 0, un mineur du l«r ordr&^O
yéritahle conique
d^ ellipsoïde ou hyperboloïde.
d = paraboloïde.
d 7^ ellipse ou hyperbole.
d = parabole.
d = c = c' = c" = conique à rinflni.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 155
A = 0, 1 d^O deux points à distance finie, tous les mineurs l
du 1er ordre nuls, ) . ^ , • * j * „ - „• n •
unniineurdu2eordre:;ziO < ^ = deux points dont 1 un a 1 infini.
deux points distincts v d = c = c' = c" = deux points à Tinfini.
A = 0, i d ^ point double à distance finie,
tous les mineurs du 2* ordre nuls
un point double l d = point double à Tinfini.
Mais, dans la pratique, il est inutile d'avoir recours à ce tableau, il suffît de faire la décomposition en carrés comme il a été indiqué plus haut.
, 123. Exemples.
1® Reconnaître la nature de la surface 2t*2 — 3tj8 -4- to» -^- 2viD — 2uw — 2uv — 2ur ■+■ kwr + r^ = 0.
Gomme le coefficient de r' est différent de zéro, je place dans un premier carré tous les termes renfermant r; Téquation peut s'écrire
(7. — t* H- 2wf — {w — 2io)*-h2t** — 3i?2+ M?» H- ^vw — ^uw — 2uv =
ou
(^r — u-h 2w?)* -ht*' — 2ttt? -h 2uMJ — 3t?2 — 3io* + 2t?io z= 0.
On a ensuite
(r — t*H-2io)2-h(w — v + to)*— (t? — lo)» — 3i?2 — 3t^8 4-2î?tr = 0,
(^r — u-h 2io)» H- (w — t? -h t<?)^ — 4i?2 ■+■ 4t?io — 4io« = ou enfin
(r w-h2îof-l-(w — t?-|-io)2 — (2î7 — ic)2~3io8 = 0.
On reconnaît alors que cette équation représente un hyperboloïde à une nappe.
Le centre a pour coordonnées — 1, 0, 2, et on a en évidence trois directions conjuguées.
2« Reconnaître la nature de la surface
2^2 — 4^2 — 5io2 — ^^ — uv -{- ur-\-vr — wr z= .
Gomme il n'y a pas de terme en r>, je divise l'ensemble des termes du deuxième degré en «, v, w par u-^v — w, en ordonnant par rapport à t« ; on obtient immédiatement
2u>— te(io-ht?) — 4v* — 5to' = (2u—2v-{-w){u--hv — ic) — (t?-f-2to)%
156 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
et réquation s'écrit
(2w — 3i? -+- to + r)(u -h V — to) — (t? + 2w)^ = 0. Faisons la transformation de coordonnées suivante :
Xv-f- \LW
m=^iKl, 1, -1),
m'= v^^KO, 1, 2),
r' =z 2u — Sv-\-w-+- r.
L'équation devient
mu'r' — m'^v'^ = ;
elle représente une parabole dans le plan des x'y'.
124. Exercice. — On donne deux sphères S et S' et un point A. On mène une spJtère quelconque S ayant son centre sur S' et passant par le point A ; on demande l'enveloppe du plan radical des deux sphères S et S. Catte enveloppe est une quadrique dont on discutera la nature»
Soient
les équations des sphères S et S', et a, ^, y ^^^ coordonnées du point A.
Si
ux 4- vy -f- wz H- r =
désigne l'équation du plan radical de la sphère S et de la sphère S; cette dernière aura une équation de la forme
a?^ -+- 2/^ + 2^ — R'^ — X(iMP -\- vy -^ wz -^ r) = 0.
Écrivons qu'elle passe par le point A, et que son centre est sur la sphère S' ; on aura les deux équations
«2 -4- p2 -H Y^ — R2 — X(tfcx-h v^ 4- lOY-h r) = 0,
(Xw — 2rf)2 -h X2îj2 ^ X2l02 __ 4R'2 — Q .
En éliminant X entre ces deux équations, on aura Téquation tangentielle de l'enveloppe demandée.
Posons, pour simplifier l'écriture,
«2 -h P* H- Y^ — R* = H, wa H- 1?^ 4- toY -+- r = P ;
on obtient
(m2 4- 1?2 4- to2)H2 — 4dwHP 4- 4P2(cZ2 — R'2) = o.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 157
Premier cas. d^ — R'« :^ 0.
L'équation peut s'écrire
ou
ou enfin
/ p duu y um^w^ (r8 + io«)H»
L'enveloppe est alors une quadrique à centre, dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées.
Le centre a pour équation
op dRu
c'est-à-dire pour coordonnées '^ — ktj^ rTST' P' Ï- ^^ ^^ transporte l'origine au centre, l'équation devient
(^^2 - R'2)2 ■+■ ti2__H"2 ~
Si d2 R'2 <^o, la surface est un ellipsoïde réel. Si d^ — R'^ > 0, la surface est un hyperboloïde à deux nappes. Deuxième cas, d^ — R'2 = Q.
L'équation de l'enveloppe s'écrit
(u2 4- 1;2 4- ic2jH — ^du? = ou encore
(î?2 4- tc2)H — 4dM^ea 4- rp 4- toY 4- r — -^^ = 0.
Sous cette forme on reconnaît l'équation d'un paraboloïde elliptique.
En résumé :
rf2 R'2 <^ 0, Ellipsoïde réel.
^2 R'2 0, Paraboloïde elliptique.
^2 __ R'2 ^ 0, Hyperboloïde à deux nappes.
Nous avons supposé dans tout ce qui précède que H était différent de zéro.
Si H = 0, l'enveloppe se réduit au point A, ce qui est évident a priori,
