Cas où Téquation représente une conique. — Suppo

158 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

sons que le déterminant A soit nul, et qu'un mineur du premier ordre soit différent de zéro.

Appliquons la méthode générale pour déterminer les équations ponctuelles correspondantes.

On doit éliminer u, v, u\ r, X entre les équations

au -h h"v -h b'w -H cr — Xar = 0, \ b"u 4- a'v -\-hw + c'r — Xt/ = 0, h'u -^bv-^ a"tv -h c'V — Xz = 0, \ (1)

eu H- c'v -+- c"w -hdr — Xf = 0, ux -+- vy -\-wz-\- rt = 0.

Multiplions les quatre premières équations respectivement par les coefficients des éléments de la première colonne de A ; on obtient, en remarquant que X n'est pas nul,

on a de même

Aar-hB"i/ -h B'z 4-0^ = 0;

h"x-{-k'y-^hZ'\-Gt = 0,

Cx -h C'y -h C"z -h D« = 0.

Ces quatre équations représentent le plan de la conique ; elles ont donc leurs coefficients proportionnels ; il en résulte que tous les mineurs du second ordre du déterminant adjoint A' sont nuls, par suite la forme adjointe cp(a?, y, z, t) est carré parfait, et sa racine égalée à zéro donne Téquation du plan de la conique.

On voit également que les coordonnées du plan de la conique constituent Tunique système de solutions des équations

fi = 0, A = 0, A = 0, /•; = 0.

On peut d'ailleurs déterminer ponctuellement cette conique en joignant à l'équation de son plan l'équation ponctuelle d'une quadrique qui la contient.

Supposons en effet que le mineur

CLASSIFICATION DES QUADRIQUES i59

b' b a" soit différent de zéro.

Résolvons les trois premières équations du système (1) par rapport à u^v^w et remplaçons dans les deux dernières ; on obtient les équations

a b" b cr-

b" a! b c'r — \<j b' b a" c'r-'ki

c c' c" dr — \t

a b' b' cr — lx

6" a' b c'r — \y b' b a' c'r — lz

X y z rt

On peut les écrire

— X(Ca; + C'j/ + Cz + D<) = 0,

r(Cx 4- G y + C"z + D<) — X

ou bien

Cx -H Gy + Cz +

X y z Dt = 0,

La première équation représente un plan, la deuxième représente un cône ayant pour sommet l'origine. La conique est à l'intersection du plan et du cône. Remarquons d'ailleurs que ce cône a pour équations tangen-

160 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

tielles (71)

au^ -h a'v^ -H aW •+- "Ibvw -+- "^b'wu -+- Wuv = 0,

Les plans tangents à ce cône sont les plans passant par Torigine et dont les coordonnées vérifient Téquation donnée