Application. — Considérons réquation
F(w, 1?, w, r) = {uf'u^ + vf'v^ 4- wfi^ 4- rf'r^)^
— ^f{u, V, w, r)/*(tto, fo, M?o, ro) = 0, (1) qui représente rintersection de la surface
f{Uy V, w, r) = au^-\-a'v^-\ =0 (2)
et du plan (wo, t?o, i^o, n) .
Nous nous proposons de démontrer analytiquement que si l'équation (2) représente une véritable quadrique, l'équation (i) représente une conique; si l'équation (2) représente une conique, (1) représente deux points distincts ; si (2) représente deux points distincts, (1) représente un point double; enfin si (2) représente un point double, le premier membre de l'équation (1) est identiquement nul.
Nous excluons, bien entendu, le cas où /"(mq, t?o, too» n) est nul, car dans ce cas le plan est tangent, et l'équation (1) représente un point double qui est le point de contact.
On a
1 Fi* = f'u^(uruo -+- Vf',, + loAo 4- r/*;^) — 2ruf(uo, vo, wo, ro), 1 Fi = Ao««o -^ ^/"^'o -*- ^Ao -+- ''f-o) - ^nn^o, vo, wo, ro}, •«• Fi, = fwQ{ufuo H- vfvQ -h wfwQ + rfr,) — 2fûf{uo, vo, wo, ro),
162 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE*
i. F;. = /•{•o(*'/uo -+- ^fvo -+- ^n^o + ^-fro) - ^frfiUo, VOy ^0, n).
Si on égale ces quantités à zéro, on a des équations qui sont équivalentes aux suivantes :
fu . A^ __ £}*; __ fr^ ^
Ao /"t'o Ao Ao ou
fi-hlru, = 0, Ah- X/*;o = 0, A + XZ-i,, = 0, fr-hlfro =
OU encore
fu{u -h Xtfo, t? 4- Xt?o, ic H- Xioo, ^ + Xro) = , \
Cela revient à dire que u + Xwo, « + Xt?o, w + Xico, r -h Xro sont les coordonnées d'un plan tangent double de la surface (2).
1^ Supposons que Téquation (2) représente une véritable quadrique.
Les dérivées partielles /*«, /*{,, etc. ne peuvent être nulles que pour des valeurs toutes nulles de u, v, w, r.
Les équations (3) ne seront vérifiées que pour
w-hXteo = 0, t? -I- Xfo = 0, loH-Xioo^O, r-hXro=:0.
U nV a donc que les valeurs — Xwo, — Xt?o, — Xioo, — Xro qui annulent F'uy Fi, Fd, Fr; on en conclut que Téquation (1) représente une conique située dans le plan (teo, fo, t^o, n).
20 Supposons que l'équation (2) représente une conique située dans un plan Pi(wi, vi, ic,, ri).
Les dérivées /"i, f'v, etc. ne s'annulent que pour des valeurs de M, V, etc. proportionnelles à ui, vi, etc.
U en résulte que les solutions du système (3) sont
u -+■ Xteo = [JiWi, V + Xro = H^ri, w -h Xtoo = [iwi, r -\- Xro = l^-ri
ou
u =i — Xwo + iiui,
V = — XuoH- [ivi,
W = XlCo ■+• fXlCi,
r = — XroH- fxrj.
Nous avons là les coordonnées des plans qui passent par Tintersection des deux plans Pc et Pp
Ces quantités annulant les dérivées Fu, Fr, etc., on en conclut
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 163
que Téquation (1) représente deux points situés sur Tintersection des plans Po et Pi.
3^ Si Téquation (2) représente deux points distincts situés sur une droite intersection de deux plans Pi(Mi, t?i, icj, n) et P2(w2> ^2, ^^2, ^2), les dérivées /*«, /*(?, etc. s'annuleront pour les valeurs.
îl := fXMi H- VW2»
V = iivi +Vl?2,
on en conclut que les solutions du système (3) seront
U + Xmo = fXMi -+- VWâ, t? -+• Ivo =. \LVi + V1?2»
ou
î? = — Xfo H- \i.Vi H-
10 = XlOo H- [JLlOi -h VIC2,
r = — Xro -}- (Jiri H- vr2 ;
il en résulte que Téquation (1) représente un point double qui est à l'intersection des trois plans Po, Pi, P2.
4® Enfin, il est aisé de vérifier que si /"(m, v, lo, r) est carré parfait, F(w, V, w, r) est identiquement nul.
129. Plans tangents menés par l'origine. — On aura les coordonnées des plans tangents menés à une quadrique par l'origine en résolvant les deux équations
r = 0, ou
g{u, V, IV) = au^ -+- a'v^ -h aV -h ^bvw + Wwu -h Wuv = 0,
1** Supposons que le discriminant de g{u, u, w) ne soit pas nul. Dans ce cas les plans tangents forment un cône, c'est le cône circonscrit à la surface ayant pour sommet Torigine. Suivant la réalité du cône et la nature de la surface, on peut déduire la position de l'origine par rapport à la surface.
Si l'équation représente une conique, c'est le cône s'appuyant sur cette conique et ayant pour sommet l'origine.
164 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
L'équation ne peut dans ce cas représenter deux points.
2" Supposons que le discriminant de g(u, u, w) soit nul, c'est-à-dire que g{u, v, w) soit décomposable en un produit de deux facteurs,
g{u, V, w) ^ {uTL -H vp -H w-()[u'x' H- vp' -f- iv^).
Soient D et D' les deux droites qui passent par l'origine et qui ont pour paramètres directeurs (a, p, y) et (a', p', y').
On voit alors que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un plan passant par l'origine soit tangent est qu'il contienne l'une des droites D ou D'.
Dès lors, si la surface est une véritable quadrique, l'origine est sur la surface, et les droites D et D' sont les génératrices qui passent en ce point. Si ces droites sont réelles, la surface est réglée (hyperboloïde à une nappe, ou paraboloïde hyperbolique) ; si les droites sont imaginaires, la surface est un ellipsoïde, un hyperboloïde à deux nappes, ou un paraboloïde elliptique.
Si l'équation représente une conique, l'origine sera dans le plan de cette conique, et les droites D et D' seront les tangentes menées à la conique par l'origine.
Enfin l'équation peut représenter deux points distincts, les droites D et D' passent par ces points.
30 Supposons que g[u^ v, w) soit carré parfait,
g[u^ u, w) = [ut. -h u^ h- m^y)', '
et désignons par D la droite qui passe par l'origine et qui a pour paramètres directeurs (a, p, y).
La condition nécessaire et suffisante pour qu'un plan soit tangent est qu'il contienne la droite D.
Dans ce cas, l'équation ne peut représenter une véritable quadrique.
Si elle représente une conique, l'origine est sur la conique, et la droite D est la tangente à la conique en ce point.
Si l'équation représente deux points^ l'origine doit être sur la droite qui joint ces deux points, et la droite D coïncide avec cette droite.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 165
Enfin, si Téquation représente un point double, la droite D joint l'origine au point double.
On voit ainsi, qu'étant donnée l'équation d'une surface de deuxième classe, on peut avoir certains renseignements sur la nature de la surface représentée en examinant la fonction g{u, V, w),
130. Pour avoir réquation générale des quadriques contenant deux droites qui se coupent, on transportera Torigine des coordonnées au point de rencontre, puis en désignant par a, p, y et a', ?\ y' les paramètres directeurs des deux droites, on aura pour Téquation générale
{uoL H- 13? + w^)(uct' -hv^' -h wy') -+- 2cur -\- 2c'î?r + 2(fwr -h dr^ = 0.
Ainsi réquation générale des quadriques contenant Ox et Oy est
2b''uv -+■ 2cur + 2c'vr H- 2c*tor -h dr^ = 0.
L'équation générale des quadriques tangentes au plan des xy à rorigine est
au^ H- a'v^ + 2b''uv -+■ 2cur -+■ 2c'vr + 2c"wr + dr^ = ;
en efifet la fonction g{iiy v, lo) doit être décomposable en un produit de facteurs qui, égalés séparément à zéro, représentent des points à TinQni dans le plan des xy.
Si le trinôme
au^ H- a'v^ H- 2b''uv
a ses racines réelles, la surface est réglée ; sinon elle n'a pas de génératrices réelles.
131. Condition pour que réquation tangentielle générale du deuxième degré représente une sphère.
Nous nous bornerons à examiner le cas où les axes de coordonnées sont rectangulaires.
L'équation tangentielle d'une sphère de centre (a, ^, y) et de rayon R s'obtient en écrivant que la distance du centre à un plan tangent est égale au rayon.
On a ainsi
(wa + vp -+- w^-hry — R\u^ -H r^ -+- w^) = 0.
Pour que l'équation générale du deuxième degré
f{u, V, w, r) = aw2 -I- aV -h a V H = (1)
166 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
représente une sphère, il faut que ces deux équations aient leurs coefficients proportionnels, c'est-à-dire qu'on ait l'identité
f(u, u, », r) = S v}-^rV^-\^W^ — ^ "W^ \
s désignant un nombre différent de zéro.
On peut encore écrire .
/*(w, v, w^ r) — S(w* -h u' H- m;^) ^ — ^ (wa -+- rp + iv^ H- r)*.
On en conclut que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (1) représente une sphère est que l'expression
soit le carré d'une fonction linéaire de w, v, w^ r.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que tous les mineurs du deuxième ordre du discriminant de cette forme soient nuls pour une même valeur de S. Mais on sait que ces conditions rentrent les unes dans les autres ; pour obtenir le nombre de conditions strictement indispensables, nous remarquerons que le coefficient de r*, d, est différent de zéro, et nous ordonnerons la forme par rapport à r ; on a
dr^ -h 2r(cu -h c'v -f- c"w) -h (a — S)^^ ^ {a' — Sy -+- (a" — S)tv'
-+- Ibvw + Ib'wu + âô^wr.
En écrivant que cette fonction est carré parfait, quelles que soient les valeurs de m, u, uj, on obtient
ce qui donne
c2 rf(a — S) = 0,
c'« — d\ji' — S) = 0,
c'c — b'd = 0, ce' — b"d = 0.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 167
En éliminant S, on a les cinq conditions suivantes :
ad — c^ = a'd—c'^ = a!'d — d'^:^(), ^
c'c'' — bdr=.0,
cc^^b''d = 0.
Supposons ces conditions remplies ; il est aisé d'obtenir le centre et le rayon de la sphère.
En effet, on doit avoir
a, p, Y désignant les coordonnées du centre et R le rayon. Or on a, puisque le trinôme précédent est carré parfait,
/*(m, v, w^ r) — S(m^ h- u* -h w^) ^d(r-\--jU-\-'--zV'\'-Tw\ .
On en conclut
s ad--c^
" 132. Il est aisé de voir que les conditions obtenues sont équivalentes aux conditions
que donne la géométrie ponctuelle .
Si Ton se reporte en effet aux formules du numéro 116, on voit que les conditions trouvées sont équivalentes aux conditions
