b'd — c"c)wu -H 2(6"rf — cc')uv
Le discriminant du premier membre est égal à rf^A, a désignant comme plus haut le discriminant de /*(m, u, w^ r). Il en résulte que cette équation ne représente une véritable
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 169
conique que si la surface est un ellipsoïde ou un hyperboloïde. Dans le cas du paraboloïde, elle représente un point double,
{eu -+- c'v -h c"wY = ;
c'est le point de rencontre des deux génératrices de la surface qui se trouvent dans le plan de Tinfini.
Si l'équation donnée représente une conique, cette courbe rencontre le plan de Tinfini en deux points distincts, si c'est une ellipse ou une hyperbole, et en un point double, si c'est une parabole.
Enfin si l'équation représente deux points distincts, la conique de l'infini se réduit à un point double.
Tous ces résultats, évidents a priori, s'obtiennent analytiquement en remarquant que les mineurs du premier ordre du discriminant de la fonction
[ad - c^X + («'^ — c'')v" -+- [a"d — c''»)w;« + 2(6d — dcyw
-h ^[b'd — c"c)wu -H 2{b"d — cc')uv
sont proportionnels à A, k\ k\ B, B', B".
On a, par exemple,
[a'd — c'*){a"d — c"*) — {bd — c'cy = rfA,
^O'd — c"c){b"d — ce') — [ad — c^bd — c'c") = rfB,
Cela nous montre aussi que les équations ponctuelles de cette conique sont
Ax» H- \Y -h A"z^ -h 2Bt/z H- 2B'zx -^ "^B'xy = 0, t = 0.
134. Cercle de Tinfini. — Il résulte de ce qu'on a vu dans les
numéros précédents que la condition nécessaire et suffisante
pour que l'équation
représente une sphère est que l'intersection de cette surface par le plan de l'infini ait pour équation tangentielle
170 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
OU pour équations ponctuelles
x^-hy^ -hz^ ^ 0,
en supposant toujours les axes de coordonnées rectangulaires.
Cette conique est appelée le cercle de l'infini^ et Ton peut dire que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une quadrique soit une sphère est qu'elle contienne le cercle de Tinfini.
Un cône quelconque ayant pour directrice le cercle de Tinfini est appelé cône isotrope ; on peut aussi l'envisager comme une sphère de rayon nul.
Ainsi le cône isotrope qui a pour sommet le point (a, p, y) a pour équation
Un plan quelconque rencontre le cercle de l'infini en deux points qui sont les points cycliques de ce plan.
135. Le cercle de l'infini joue, en géométrie de l'espace, un rôle très important, comme les points cycliques en géométrie plane.
Théorème I. — La condition nécessaire et suffisante pour que deux droites soient perpendiculaires est que leurs traces sur le plan de Vinfini soient conjuguées par rapport au cercle de Vinfini.
Soient deux droites ayant pour paramètres directeurs (a, p, y)
et (a', p', y). La condition
exprime à la fois que ces droites sont perpendiculaires et que des parallèles passant par l'origine sont conjuguées par rapport au cône isotrope
dans ce cas, leurs traces sur un plan quelconque sont conjuguées par rapport à la conique section du cône par ce plan, et en particulier leurs traces sur le plan de l'infini sont conjuguées par rapport au cercle de linfini.
Théorème IL — La condition nécessaire et suffisante pour que
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 171
deux plans soient perpendiculaires est que leurs traces sur le plan de l'infini soient conjuguées par rapport au ceixle de V infini.
Démonstration analogue.
Théorème III. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan est que la trace de la droite sur le plan de l'infini ait pour polaire par rapport au cercle de Vinfini la trace du plan sur le plan de l'infini.
Pour qu'une droite (a, p, y) soit perpendiculaire à un plan
Aa: -H By -h Cz = 0, il faut qu'on ait
Or ces conditions expriment que la droite est conjuguée du plan par rapport au cône isotrope qui a pour sommet Torigine.
Ces théorèmes sont des cas particuliers de théorèmes plus généraux concernant les angles de droites et de plans (voir, à la fin du chapitre, Note n® 16).
136. Goaditions pour que réquatlon tangentielle générale du deuxième degré représente une hyperbole équUatére.
f[u, î7, w, r) = au^ -h aV H =0.
On doit avoir d'abord
en outre il suffit d'écrire que les points de rencontre avec le plan de l'infini sont conjugués par rapport au cercle de l'infini.
L'équation des points à l'infini est [ad — c2)u2 + (a'd - c'2)t?2 + [a^d — c"^^)!!^^ + 2(&d — c'c'')vw
H- 2{b'd — c''c)wu 4- ^[b"d — cc')uv = .
Le premier membre est décomposable en un produit de deux facteurs,
(aa -h tjfi -f- w^)[uj.' -|- vfi' -H w^') ■=. 0,
et Ton doit avoir
ce qui donne la condition
ad—c^ + a'd — c'2 + aTd — c"^ = 0. (2)
Les relations (1) et (2) sont les conditions cherchées.
172 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
137. Équation tangentielle du cercle. — Soit un cercle ayant pour centre le point (a, % y), pour rayon R, et dont le plan P a pour équation
Pour qu'un plan Q(k, v, w, r) soit tangent au cercle, il faut qu'il rencontre le plan du cercle suivant une droite dont la distance au centre soit égale à R.
Abaissons du centre une perpendiculaire sur le plan Q, soit o sa longueur, et 6 l'angle des deux plans P et Q, on aura
= R sin Ô ou
82 = R2(l cos2 0).
Or on a
32 . (t4gH-r;^H-i/^Y + ^)\ C0S2 6 = . (in+m. + nir)2
L'équation tangentielle du cercle sera donc (t<a + ypH~iOï-+-r)2 r (lu-hmv-j-nwY 1
ou bien
(wa 4- rp H- icy + r)2(/* -h m2 + n»)
— R2[(/2 + m2 + n2)(M2 -}- î?2 ^ ^2) (^t^ + mr + nw)^] = 0.
Nous avons en évidence l'équation des points à Tinfini de ce cercle, car en éliminant r entre cette équation et sa dérivée par rapport à r (133), on obtient
(^2 | ^2 ^ „2)(^2 -1- 1,2 H- iç2) l^lu -4- mV + W10)2 - Q,
équation qui représente précisément l'équation des points de rencontre du cercle de l'infini avec le pian du cercle considéré ; c'est en effet un cas particulier de la formule
Wûo ■+■ ^'o-^-^/'i'o + *"A'o)' — *A", ^S '^y r)f{uoy vo, too, n) = 0. L'équation tangentielle du cercle peut aussi s'écrire
(wa 4- rp 4- lOY 4- r)2(/2 + m2 4- n^)
— R2[(mio — nvf 4- {nu — lw)^-\- (Iv — mu)^] = 0.
138. Conditions pour que l'équation tangentielle générale du second degré représente un cercle. — En comparant l'équation précédente avec l'équation générale
f(Uy t?, 10, r) = au^ 4- a'v^ 4- a"w'^ 4- 2bvw 4- 2b'wu 4- 2b"uv
