N2 — MP^O
et cela quelles que soient les valeurs de w, i?, to ; on obtient les conditions suivantes, en posant fx = — Id :
ad — c^zrz |jL(m2-f-n«), \ a'd — c'^z^ lt.(n^-k-l^), j
hd — c'c" = — [Jimn, l
b'd-c''c = ''iinl, \
Vd — cc'-= — \ïXm . /
On voit que cela revient à écrire que la conique de l'infini de la surface donnée,
[ad — c2)m2 + [a'd — c'^)v'^ + (a'rf — d"^)w^ -H 2(&c/ — c'c^^vw
+ 2(&'d — c^c)wu H- ^Ifd — cc')uv = 0, se réduit aux deux points cycliques
{mw — nv)^ -+- [nu — Iw)^ + (l^ — mu)^ = 0.
Le calcul sera particulièrement simple si Ton sait à Tavance que réquation donnée représente une courbe, et si Ton connaît le plan de cette courbe ; on aura les valeurs de l, m, n, et jx sera la seule inconnue du système (1).
Nous nous proposons de chercher d'une manière générale les relations qui doivent exister entre les coefficients de Téquation donnée pour que cette équation représente un cercle ; il faudra éliminer IJL, ly m, n entre les équations (1 ).
Posons, pour simplifier récriture,
ad — c^ = a, a'd — c'2 = a', a'd — c"^ = ol\
hd - c'c" = p, h'd — c''c = ^', b^d — ce' = ifi" ;
les équations (1) s'écrivent
a = {x(m2 -+- n2), a' = |jL(n2 + l^), ol" = |jl(/2 + m2), |
P = — iimn, . ^' = — H^wZ, f^" = — l^^^' )
Premier cas. — Supposons qu'aucun des trois nombres p, p', f" ne soit nul.
174 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE
Les trois dernières équations donnent
,,72 r r nvvî2 r r ,,-,2 — rP .
En transportant ces valeurs dans les trois premières équations du système (2), on a les conditions
'■' — pf' — -"'
Deuxième cas. — Supposons qu'on ait ^ = 0.
En se reportant au système (2), on doit avoir [imn = ; on en conclut soit m = 0, soit n = 0.
Supposons n = ; on aura alors
a = |jLm2, a' = ^iP, a" = fx(Z2 + m^).
On en déduit les conditions
'fi' = 0.
a H- a' = a", aa' — ^''2 = 0.
Troisième cas. —Supposons que les trois quantités p, P', ^" soient nulles ; il faudra que deux des quantités l, m, n soient nulles, par exemple m = 0, n = 0.
On aura les conditions
EXERCJCES ET NOTES
1. Etudier la nature des quadriques représentées par les équations m2 y 2 |-2Mto — 4wr + r2 = 0,
no + itr — 3ior + 2r2 = 0,
u^ — 3io"2 + 4rw? — uv-\- 3vr r= 0,
(i? — lof H- (lo — w)2 H- (m — r)2 — r2 = 0,
(if H- y -i- 'io)2 — t^r = 0, 1*2 — y2 | j^ip — n^f^ j. 2Mr ^ no + r2 iz: .
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 175
2. On donne une sphère, un point A et un plan P ; par le point A on mène un plan quelconque Q qui rencontre le plan P suivant une droite A ; trouver l'enveloppe du plan qui passe par la droite A et par le pôle du plan Q par rapport à la sphère.
Cette enveloppe est une quadrique ; discuter sa nature quand le point A se déplace dans Vespace,
Soient
z — h = les équations de la sphère et du plan P, et a, p, y les coordonnées du point A. Un des plans dont on cherche Tenveioppe,
ux-\-vy -\-wz -\-r •=. Of (1)
rencontre le plan P suivant une droite A, et le plan passant par A et le point A a pour équation
ux -\- vy -\- wz -h r z — h
uoL -h r^ -h loy -h y Y — h
11 suffira d'écrire que le pôle de ce plan par rapport à la sphère est situé dans le plan (i).
On obtient ainsi Téquation tangentielle de l'enveloppe,
— R2w2(y —h)^ R2v2(y —h) 4- RVnc^ -+- Khc(u(i -h v'p) 4- hxur
-+- h^vr -h (Ay -h R2)ior 4- rSy = 0.
Pour discuter la nature de cette quadrique nous appliquerons la méthode générale, en remarquant que Ton peut supposer le point A dans le plan des xz^ à cause de la symétrie de la figure autour de Taxe Oz,
Faisons p =: dans Téquation qui précède ; elle devient
— R2w2(y h) R2^2(,^ __ 7i) 4. R2;,,,o2 |. ^2j^uxo + h7.ur
